Encontre uma mudança de coordenadas que reescreva a forma quadrática sem termos cruzados e classifique Q em relação ao sinal. a. Existe mudança d...

Para reescrever a forma quadrática sem termos cruzados, precisamos encontrar uma matriz de transformação T que diagonalize a matriz Q. Para isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores de Q. Suponha que Q seja a matriz da forma quadrática, então temos: Q = [2 -4; -4 5] Os autovalores de Q são as raízes do polinômio característico det(Q - λI) = 0, onde I é a matriz identidade. Temos: det(Q - λI) = det([2-λ -4; -4 5-λ]) = (2-λ)(5-λ) - (-4)(-4) = λ^2 - 7λ + 6 = 0 Resolvendo a equação, encontramos os autovalores λ1 = 6 e λ2 = 1. Para encontrar os autovetores, precisamos resolver o sistema de equações (Q - λI)x = 0 para cada autovalor. Temos: Para λ1 = 6: (Q - 6I)x = [2-6 -4; -4 5-6][x1; x2] = [-4 -4; -4 -1][x1; x2] = 0 O sistema tem solução x = [1; 1], que é o autovetor correspondente a λ1. Para λ2 = 1: (Q - I)x = [2-1 -4; -4 5-1][x1; x2] = [1 -4; -4 4][x1; x2] = 0 O sistema tem solução x = [4; 1], que é o autovetor correspondente a λ2. A matriz de transformação T é formada pelos autovetores de Q, ou seja: T = [1 4; 1 1] A matriz diagonalizada D é dada por: D = T^(-1)QT = [6 0; 0 1] Agora podemos classificar Q em relação ao sinal: - Se todos os autovalores de Q são positivos, então Q é positiva definida. - Se todos os autovalores de Q são negativos, então Q é negativa definida. - Se Q tem autovalores positivos e negativos, então Q é indefinida. Como Q tem um autovalor positivo e um negativo, então Q é indefinida. Portanto, a alternativa correta é a letra A: "Existe mudança de coordenadas tal que e Q é indefinida."