Até que ponto o segmento de reta AB de extremos A(1, −2) e B(−3, 5) deve ser prolongado no sentido de A para B, de modo que seu tamanho fique dobra...

Para encontrar o ponto C em que o segmento de reta AB deve ser prolongado no sentido de A para B, de modo que seu tamanho fique dobrado, podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano: d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] Onde: - x1 e y1 são as coordenadas do ponto A; - x2 e y2 são as coordenadas do ponto B; - d é a distância entre os pontos A e B. Assim, podemos calcular a distância entre os pontos A e B: d = √[(-3 - 1)² + (5 - (-2))²] d = √[(-4)² + (7)²] d = √[16 + 49] d = √65 Para dobrar a distância, precisamos multiplicá-la por 2: 2d = 2√65 Agora, podemos utilizar a fórmula da distância novamente para encontrar as coordenadas do ponto C: 2d = √[(x3 - 1)² + (-2 - y3)²] Substituindo 2√65 por 2d: 2√65 = √[(x3 - 1)² + (-2 - y3)²] Elevando ambos os lados ao quadrado: 4 * 65 = (x3 - 1)² + (-2 - y3)² 260 = (x3 - 1)² + (y3 + 2)² Podemos utilizar as coordenadas do ponto B para encontrar a equação da reta que passa pelos pontos A e B: y - (-2) = (5 - (-2)) / (-3 - 1) * (x - 1) y + 2 = 7 / (-4) * (x - 1) y + 2 = (-7/4)x + 7/4 + 4/4 y = (-7/4)x - 1/4 Substituindo y por -2 na equação da reta, podemos encontrar a coordenada x do ponto C: -2 = (-7/4)x - 1/4 -2 + 1/4 = (-7/4)x -7/8 = (-7/4)x x = 1/2 Substituindo x por 1/2 na equação da reta, podemos encontrar a coordenada y do ponto C: y = (-7/4) * (1/2) - 1/4 y = -7/8 - 1/4 y = -15/8 Portanto, o ponto C em que o segmento de reta AB deve ser prolongado no sentido de A para B, de modo que seu tamanho fique dobrado, é C(1/2, -15/8).