Para determinar a matriz de mudança de base de \( B \) para \( C \), precisamos expressar os vetores da base \( C \) em termos dos vetores da base \( B \). As bases são: - \( B = \{(1, 2), (-1, 0)\} \) - \( C = \{(-1, 0), (-2, -1)\} \) Vamos expressar cada vetor da base \( C \) como uma combinação linear dos vetores da base \( B \). 1. Para o vetor \( (-1, 0) \): \[ (-1, 0) = a(1, 2) + b(-1, 0) \] Isso resulta no sistema: \[ a - b = -1 \quad (1) \] \[ 2a = 0 \quad (2) \] Da equação (2), temos \( a = 0 \). Substituindo na equação (1): \[ -b = -1 \implies b = 1 \] Portanto, \( (-1, 0) = 0(1, 2) + 1(-1, 0) \). 2. Para o vetor \( (-2, -1) \): \[ (-2, -1) = a(1, 2) + b(-1, 0) \] Isso resulta no sistema: \[ a - b = -2 \quad (3) \] \[ 2a = -1 \quad (4) \] Da equação (4), temos \( a = -\frac{1}{2} \). Substituindo na equação (3): \[ -\frac{1}{2} - b = -2 \implies b = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2} \] Portanto, \( (-2, -1) = -\frac{1}{2}(1, 2) + \frac{3}{2}(-1, 0) \). Agora, montamos a matriz de mudança de base \( P_{B \to C} \) com os coeficientes encontrados: \[ P_{B \to C} = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ 1 & \frac{3}{2} \end{bmatrix} \] Assim, a matriz de mudança de base de \( B \) para \( C \) é: \[ P_{B \to C} = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ 1 & \frac{3}{2} \end{bmatrix} \] Verifique as alternativas para encontrar a que corresponde a essa matriz.