Seja . Ache a direção segundo à qual cresce mais f(x, y) = 2 + x + y2 1 4 2 f x, y( ) rapidamente no ponto , e determine a taxa máxima de crescime...

Seja . Ache a direção segundo à qual cresce mais f(x, y) = 2 + x + y2 1
4
2 f x, y( )
rapidamente no ponto , e determine a taxa máxima de crescimento de em .P 1, 2( ) f P
Resolução:
Para encontrar a direção na qual a função cresce mais rapidamente no ponto f x, y( ) P 1, 2( )
e a taxa máxima de crescimento de nesse ponto, podemos utilizar o gradiente de e a f f
propriedade do gradiente de apontar na direção de maior crescimento.
Inicialmente, vamos encontrar o gradiente de ;f x, y( )


f(x, y) = 2 + x + y2
1
4
2
O gradiente de é dado por;f

????f = ,
????f

????x

????f

????y

Fazendo as derivadas parciais;

= 2x e = y
????f

????x

????f

????y

1
2
Agora, vamos calcular o gradiente de no ponto :f P 1, 2( )

????f(1, 2) = (2 ⋅ 1, ⋅ 2) = (2, 1)
1
2

????f(1, 2) = 2i + j


(Resposta 1 - Direção, crescimento mais rápido )

A taxa máxima de crescimento de em é igual ao comprimento do gradiente de f P 1, 2( ) f
nesse ponto, ou seja, a norma do vetor :1, 2( )

|????f(1, 2)| = = 2 + 12 2
5


(Resposta 2 - taxa máxima de crescimento)