Questão resolvida - Seja f(x,y)2x1_4y Ache a direção segundo à qual - Cálculo III - ufpb

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Seja . Ache a direção segundo à qual cresce mais f(x, y) = 2 + x + y2
1
4
2 f x, y( )
rapidamente no ponto , e determine a taxa máxima de crescimento de em .P 1, 2( ) f P
 
Resolução:
 
Para encontrar a direção na qual a função cresce mais rapidamente no ponto f x, y( ) P 1, 2( )
e a taxa máxima de crescimento de nesse ponto, podemos utilizar o gradiente de e a f f
propriedade do gradiente de apontar na direção de maior crescimento.
 
Inicialmente, vamos encontrar o gradiente de ;f x, y( )
 
f(x, y) = 2 + x + y2
1
4
2
O gradiente de é dado por;f
 
𝛻f = ,
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
Fazendo as derivadas parciais;
 
= 2x e = y
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
1
2
 
Agora, vamos calcular o gradiente de no ponto :f P 1, 2( )
 
𝛻f(1, 2) = (2 ⋅ 1, ⋅ 2) = (2, 1)
1
2
 
 𝛻f(1, 2) = 2i + j 
 
 
(Resposta 1 - Direção, crescimento mais rápido )
A taxa máxima de crescimento de em é igual ao comprimento do gradiente de f P 1, 2( ) f
nesse ponto, ou seja, a norma do vetor :1, 2( )
 
|𝛻f(1, 2)| = = 2 + 12 2 5
 
 
(Resposta 2 - taxa máxima de crescimento)