Determine todas as soluções da relação de recorrência \(a_n = 7a_{n-1}-16a_{n-2}+12a{n-3}+n4^n\) com \(a_0=-2\), \(a_1=0\) e \(a_2=5\).

Para resolver essa relação de recorrência, primeiro precisamos encontrar as raízes da equação característica \(r^3-7r^2+16r-12=0\). Podemos fatorar essa equação como \((r-1)(r-2)(r-6)=0\), então as raízes são \(r_1=1\), \(r_2=2\) e \(r_3=6\). A solução geral da relação de recorrência é dada por \(a_n = c_1r_1^n + c_2r_2^n + c_3r_3^n + f(n)\), onde \(c_1\), \(c_2\) e \(c_3\) são constantes determinadas pelas condições iniciais e \(f(n)\) é uma função que depende de \(n\) e é determinada pela relação de recorrência. Usando as condições iniciais, podemos determinar os valores de \(c_1\), \(c_2\) e \(c_3\). Temos: \begin{align*} a_0 &= c_1 + c_2 + c_3 + f(0) = -2 \\ a_1 &= c_1 + 2c_2 + 6c_3 + f(1) = 0 \\ a_2 &= c_1 + 4c_2 + 36c_3 + f(2) = 5 \end{align*} Resolvendo esse sistema de equações, encontramos \(c_1=-\frac{1}{3}\), \(c_2=\frac{5}{9}\) e \(c_3=\frac{11}{9}\). A solução geral da relação de recorrência é, portanto: \[a_n = -\frac{1}{3} + \frac{5}{9}2^n + \frac{11}{9}6^n + f(n)\] Agora precisamos determinar a função \(f(n)\). Podemos fazer isso substituindo a solução geral na relação de recorrência e resolvendo para \(f(n)\). Temos: \begin{align*} a_n &= 7a_{n-1} - 16a_{n-2} + 12a_{n-3} + n4^n \\ -\frac{1}{3} + \frac{5}{9}2^n + \frac{11}{9}6^n + f(n) &= 7\left(-\frac{1}{3} + \frac{5}{9}2^{n-1} + \frac{11}{9}6^{n-1} + f(n-1)\right) \\ &- 16\left(-\frac{1}{3} + \frac{5}{9}2^{n-2} + \frac{11}{9}6^{n-2} + f(n-2)\right) \\ &+ 12\left(-\frac{1}{3} + \frac{5}{9}2^{n-3} + \frac{11}{9}6^{n-3} + f(n-3)\right) \\ &+ n4^n \end{align*} Simplificando essa equação, obtemos: \[f(n) = \frac{1}{27}(4^n - 5\cdot 2^n - 11\cdot 6^n) - \frac{n}{27}4^n\] Portanto, a solução da relação de recorrência é: \[a_n = -\frac{1}{3} + \frac{5}{9}2^n + \frac{11}{9}6^n + \frac{1}{27}(4^n - 5\cdot 2^n - 11\cdot 6^n) - \frac{n}{27}4^n\]