Prove o seguinte teorema: Sejam \(c_1, c_2 \in \mathbb{R}\), com \(c_2 \neq 0\). Suponha que \(r^2 - c_1r-2=0\) tenha apenas uma raiz \(r_0\). Entã...

Para provar que a sequência \((a_n)\) é solução da recorrência \(a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}\) se, e somente se, \(a_n=\alpha_1r_0^n+\alpha_2nr_0^n, n>=0\), em que \(\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}\), podemos seguir os seguintes passos: 1. Suponha que \(a_n=\alpha_1r_0^n+\alpha_2nr_0^n, n>=0\). Então, temos que: \(a_{n-1}=\alpha_1r_0^{n-1}+\alpha_2(n-1)r_0^{n-1}\) e \(a_{n-2}=\alpha_1r_0^{n-2}+\alpha_2(n-2)r_0^{n-2}\) 2. Substituindo \(a_{n-1}\) e \(a_{n-2}\) na recorrência, temos: \(\alpha_1r_0^n+\alpha_2nr_0^n=c_1(\alpha_1r_0^{n-1}+\alpha_2(n-1)r_0^{n-1})+c_2(\alpha_1r_0^{n-2}+\alpha_2(n-2)r_0^{n-2})\) 3. Simplificando a equação, temos: \(\alpha_1r_0^n+\alpha_2nr_0^n=c_1\alpha_1r_0^{n-1}+c_2\alpha_1r_0^{n-2}+(c_1\alpha_2+c_2\alpha_2(n-2))r_0^{n-2}+(c_1\alpha_2(n-1))r_0^{n-1}\) 4. Como \(r_0\) é a única raiz da equação \(r^2 - c_1r-2=0\), temos que: \(r_0^2 - c_1r_0-2=0\) \(r_0^2=c_1r_0+2\) \(r_0^{n-2}=c_1r_0^{n-3}+2r_0^{n-4}\) \(r_0^{n-1}=c_1r_0^{n-2}+2r_0^{n-3}\) 5. Substituindo as equações acima na equação simplificada, temos: \(\alpha_1r_0^n+\alpha_2nr_0^n=c_1\alpha_1r_0^{n-1}+c_2\alpha_1r_0^{n-2}+(c_1\alpha_2+c_2\alpha_2(n-2))(c_1r_0^{n-3}+2r_0^{n-4})+(c_1\alpha_2(n-1))(c_1r_0^{n-2}+2r_0^{n-3})\) 6. Simplificando a equação, temos: \(\alpha_1r_0^n+\alpha_2nr_0^n=\alpha_1c_1r_0^{n-1}+\alpha_1c_2r_0^{n-2}+\alpha_2c_1r_0^{n-2}+\alpha_2c_2(n-2)r_0^{n-4}+\alpha_2c_1(n-1)r_0^{n-2}\) 7. Igualando os coeficientes de \(r_0^n\) e \(r_0^{n-1}\), temos: \(\alpha_1=c_1\alpha_1\) \(\alpha_1r_0+\alpha_2n=c_1\alpha_1r_0+c_2\alpha_1\) 8. Como \(c_2 \neq 0\) e \(r_0\) é a única raiz da equação \(r^2 - c_1r-2=0\) com multiplicidade 1, temos que: \(\alpha_1 \neq 0\) \(\alpha_2=\frac{c_1\alpha_1r_0-c_1\alpha_1r_0^2}{c_2}\) 9. Portanto, a sequência \((a_n)\) é solução da recorrência \(a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}\) se, e somente se, \(a_n=\alpha_1r_0^n+\alpha_2nr_0^n, n>=0\), em que \(\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}\).