Determinar, caso exista, o plano tangente ao gráfico de y^2 + 2xz - 4 = 0 no ponto (3,1,2).

Para determinar o plano tangente ao gráfico de y^2 + 2xz - 4 = 0 no ponto (3,1,2), podemos utilizar o conceito de derivadas parciais. Primeiramente, precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a x, y e z da equação dada. Assim, temos: ∂/∂x (y^2 + 2xz - 4) = 2z ∂/∂y (y^2 + 2xz - 4) = 2y ∂/∂z (y^2 + 2xz - 4) = 2x Em seguida, podemos calcular o vetor gradiente da função no ponto (3,1,2), que é dado por: grad f(3,1,2) = (2z, 2y, 2x) = (4, 2, 6) O vetor gradiente é perpendicular ao plano tangente, portanto, podemos utilizar esse vetor para encontrar a equação do plano. Assim, temos: 4(x - 3) + 2(y - 1) + 6(z - 2) = 0 Simplificando, temos: 4x + 2y + 6z = 28 Portanto, a equação do plano tangente ao gráfico de y^2 + 2xz - 4 = 0 no ponto (3,1,2) é 4x + 2y + 6z = 28.