Derivadas de Funções de Uma ou Mais Variáveis

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Derivadas de 
Funções de uma 
ou mais variáveis
Universidade do Sul de Santa Catarina
UnisulVirtual
Palhoça, 2014
Universidade do Sul de Santa Catarina
Derivadas de 
Funções de uma 
ou mais Variáveis
Créditos
Universidade do Sul de Santa Catarina – Unisul
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Livro didático
UnisulVirtual
Palhoça, 2014
Designer instrucional
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Diva Marília Flemming 
Derivadas de 
Funções de uma 
ou mais Variáveis
Livro Didático
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
Copyright © 
UnisulVirtual 2014
Professor conteudista
Diva Marília Flemming
Designer instrucional
Eliete de Oliveira Costa
Projeto gráfico e capa
Equipe UnisulVirtual
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Contextuar
ISBN 
978-85-7817-674-7
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por 
qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.
515.83
F62 Flemming, Diva Marília
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis da UA : livro 
didático / Diva Marília Flemming ; design instrucional Eliete de 
Oliveira Costa. – Palhoça : UnisulVirtual, 2014.
140 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-7817-674-7
1. Funções de variáveis reais. 2. Funções - Matemática. I. Costa, 
Eliete de Oliveira. II. Título.
Sumário
Introdução | 7
Capítulo 1
Contextualização das derivadas | 9
Capítulo 2
Calculando Derivadas | 37
Capítulo 3
Derivadas Sucessivas, Derivação Implícita e 
Diferencial | 69
Capítulo 4
Aplicações Elementares | 91
Considerações Finais | 133
Referências | 135
Sobre o Professor Conteudista | 137
Anexos | 139
Introdução
Prezados estudantes
No decorrer deste texto, você terá a oportunidade de avançar nos seus estudos 
do Cálculo Diferencial e Integral. Mais especificamente, você terá a oportunidade 
da analisar as derivadas das funções e as aplicações que modelam situações 
reais em diferentes espaços com duas ou três dimensões.
Trata-se de um texto inovador, para que você possa apreciar as aplicações das 
derivadas no contexto de situações que envolvem as taxas de variações, como, 
por exemplo, velocidade e aceleração.
Nos estudos propostos neste livro, as situações práticas surgem modeladas; 
e para a compreensão dos resultados, os objetos do cálculo serão discutidos 
justificando-se a própria denotação “diferencial”.
Elementos da História da Matemática nos ajudam nos alicerces conceituais, 
e também a tecnologia, quando bem aplicada, nos ajuda nos momentos 
considerados “braçais”, ou seja, nos momentos em que as técnicas e os longos 
algebrismos nos levam a uma rotina em que os métodos se sobrepõem ao 
raciocínio e à lógica. 
No decorrer dos estudos, você vai desenvolver muitos cálculos, vivenciando 
diferentes métodos e técnicas. Na sequência, esses cálculos serão aplicados em 
situações problemas.
No primeiro capítulo, vamos apresentar uma visão mais geral das derivadas em 
suas interpretações geométrica e física.
No segundo capítulo, vamos trabalhar a parte mais técnica com as regras de 
derivação envolvendo as derivadas de funções de uma variável e as derivadas 
parciais no contexto das funções de várias variáveis.
No terceiro capítulo, vamos formalizar o conceito de Diferencial e vamos discutir o 
processo de derivação em situações em que as funções não estão explicitadas.
8
Finalmente, no quarto capítulo completamos o estudo com aplicações das 
derivadas consideradas elementares.
Ao final de cada capítulo, apresentamos uma relação de atividades formativas 
para autoavaliação do seu processo de aprendizagem. 
Os quadros, tabelas e gráficos no decorrer do livro, quando não citadas as fontes, 
foram elaborados pela autora. 
Bons estudos!
Profa. Diva Marília Flemming
9
Habilidades
Seções de estudo
Capítulo 1
Contextualização das derivadas
Seção 1: Retas tangentes e taxas de variação.
Seção 2: Derivadas de funções de uma variável e 
derivadas parciais.
Seção 3: Derivadas parciais.
Seção 4: Plano tangente e vetor gradiente
A partir do estudo deste capítulo, espera-se que 
o estudante possa visualizar a aplicação das 
derivadas em situações problemas, discutir o 
conceito de derivada de uma função e interpretar 
geometricamente as derivadas em situações 
problemas que envolvem funções de uma ou mais 
variáveis.
10
Capítulo 1 
Seção 1
Retas tangentes e taxas de variação
No contexto do Cálculo Diferencial e Integral, o conceito de Derivada é 
tradicionalmente discutido nas áreas exatas como um dos mais importantes 
conceitos. Você estudará a derivada de uma função de uma ou mais variáveis 
e perceberá, ao longo do estudo do Cálculo, que a derivada é um poderoso 
instrumento da matemática.
No decorrer dos seus estudos, você vai se deparar com situações que podem 
responder a diversas questões:
Como encontrar a inclinação de uma reta tangente a uma curva? E o que 
isso significa? 
Qual a relação entre as taxas de variação e a inclinação da reta tangente a 
uma curva em um ponto P? 
O que significa um acréscimo ou a diferencial de uma variável?
Na natureza, em nosso dia a dia, existem muitos fenômenos que envolvem a 
variação de grandezas. Por exemplo, a velocidade de um automóvel, os índices 
de inflação de um país, a taxa de crescimento populacional, a intensidade de um 
terremoto etc. Para estudar tais fenômenos que envolvem taxas de variação de 
grandezas, usa-se o conceito de derivada.
O conceito de função, já estudado, pode parecer simples, mas é o resultado de 
uma lenta e longa evolução histórica, iniciada na Antiguidade, pelos Babilônios 
e Pitagóricos. No decorrer do tempo, as funções eram estudadas, os conceitos 
geométricos foram incorporados e o Cálculo Diferencial foi se desenvolvendo.
O Cálculo é o resultado de estudos e pesquisas realizados por matemáticos 
importantes que nos deixaram suas descobertas como tesouros prontos a serem 
desfrutados. Fermat, Newton, Leibniz, a família Bernoulli, Euler, Lagrange, Cauchy 
e tantos outros são nomes que devem ficar em sua mente por terem contribuído 
para o desenvolvimento do Cálculo.
Discutir e analisar as derivadas passa a ser essencial para o estudante de um 
curso superior que possui a matemática como base em seu currículo, visto que, 
posteriormente, poderá aplicar em situações práticas.
No estudo das derivadas, antes de defini-las, é interessante que você conheça 
alguns objetos de estudo que auxiliam na compreensão das definições, 
proposições e aplicações. Vamos discutir:
11
Derivadas de Funçõesde uma ou Mais Variáveis 
 • Inclinação de uma reta tangente a uma curva;
 • Planos tangentes a uma superfície;
 • Taxas de variações.
1.1 Inclinação de uma reta tangente a uma curva
Uma reta qualquer possui uma inclinação que é dada pelo ângulo formado entre a 
reta e o eixo horizontal. Veja um exemplo na Figura 1.1.
Figura 1.1 – Reta r inclinada
A inclinação da reta r é dada pela tangente do ângulo .
Vamos agora analisar essa inclinação no contexto de 
uma função, como mostra a Figura 1.2. Observe que, no 
gráfico, uma função e uma reta secante, que 
passa pelos pontos P e Q.
Figura 1.2 – Curva dada por y = f (x) e a reta secante s.
Reta secante 
Uma reta é secante 
a uma curva quando 
passa por dois pontos 
pertencentes à curva.
12
Capítulo 1 
Para determinar a inclinação da reta secante s, vamos definir a tangente de , já 
que o triângulo PMQ é retângulo. Temos:
 .
Agora, imagine que colocamos um alfinete no ponto P para que fique fixo, e o 
ponto Q passa a se mover em direção ao ponto P. Perceba que a reta se move, 
mas, com o alfinete imaginário, o ponto P não sai do lugar.
Quando Q chega próximo a P, a reta secante passa a se transformar em uma reta 
tangente (ver Figura 1.3).
Figura 1.3 – Reta secante se deslocando até o limite da reta tangente
Nesse processo, o que interessa é a análise da variação das inclinações que a 
reta secante assume nesse movimento e a inclinação da reta tangente. Se a reta 
secante se aproxima da reta tangente, então, podemos dizer que o ponto Q tende 
para o ponto P ou, ainda, que a inclinação da reta secante varia cada vez menos 
e tende a um valor limite constante.
Qual o conceito já estudado, que pode ser lembrado nesse movimento, 
que leva a reta secante a se transformar em uma reta tangente?
Estamos agora falando em tendências e limites, ou seja, estamos usando o 
conceito de limite.
13
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
É possível formalizar algebricamente o que observamos nas figuras 1.2 e 1.3 da 
seguinte forma:
 .
Se considerarmos que , ou , podemos reescrever o limite 
anterior como:
 , sendo a inclinação da reta tangente à curva 
 no ponto P.
Fermat (1601 – 1664), no século XVII, se deu conta das limitações do conceito 
clássico de reta tangente a uma curva. Para reformular tal conceito, realizou o 
mesmo procedimento que você acabou de visualizar quando tratamos da reta 
tangente, ou seja, a partir de uma reta PQ, secante à curva, é possível deslizar 
Q em direção à P, até que se obtenha a reta tangente à curva no ponto P. Essa 
reformulação ficou conhecida como o “Problema da Tangente” e muito contribuiu 
para o conceito que é hoje adotado.
1.2 Exemplos
(1) Determinar a inclinação da reta tangente à curva no ponto P (1,1) .
A inclinação da reta tangente é dada por , visto que o ponto P possui , e 
pode ser calculada pelo limite:
 , sendo
 ;
 .
Assim, temos:
 
14
Capítulo 1 
Portanto, a inclinação da reta tangente à curva no ponto P (1,1) é 
igual 3. Veja a Figura 1.4 que representa a curva e a reta tangente no 
ponto P (1,1) .
Figura 1.4 – Reta tangente à curva no ponto P (1,1) 
(2) Encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto em que .
O problema solicita a equação da reta tangente. Para 
encontrar essa equação, vamos determinar a inclinação 
da reta, calculando m e substituindo na equação da reta 
tangente, que é dada por 
 ou , 
sendo o ponto de tangência.
Vamos calcular o valor de :
 
Esse limite é uma indeterminação do tipo . Portanto, é necessário resolver essa 
indeterminação, multiplicando numerador e denominador por :
Quando o limite que 
define m for infinito, 
a equação da reta 
tangente é dada 
por . Observe, 
também, que a 
expressão dada pode 
ser obtida a partir 
da forma algébrica 
de uma função 
 , sendo que 
a é a inclinação da reta 
tangente e b é obtido 
a partir do fato da reta 
passar pelo ponto 
 .
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Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
 
 
 .
A reta tangente será:
 
 
 
A Figura 1.5 mostra a função e a reta tangente.
Figura 1.5 – Função e a reta tangente no ponto 
16
Capítulo 1 
1.3 Atividades de autoavaliação
1. Determine a inclinação da reta tangente à curva no ponto (–1,7). 
Apresente o resultado graficamente.
2. Qual a equação da reta tangente à curva no ponto (2, –2)?
1.4 Taxa de variação no contexto das funções de uma variável
Você pode achar estranho discutir retas tangentes, um assunto que parece ser da 
Geometria. Mas foi a partir das retas tangentes que houve um aprofundamento no 
estudo do movimento de objetos. 
A partir desses estudos, é possível definir a taxa média de variação e a taxa 
instantânea de variação.
Para contextualizar uma taxa média de variação, basta lembrar o conceito de 
velocidade medida no velocímetro de um carro. É usual falarmos que uma viagem 
ou um deslocamento foi realizado com uma velocidade média de 80 km/hora. 
Estamos, assim, diante de uma taxa média de variação. 
O que é uma velocidade instantânea? Como calcular a velocidade 
instantânea?
Se você, em uma fração de segundos, olhar para o velocímetro de um carro, vai 
poder fazer a leitura de uma velocidade naquele instante. Seu olhar deve ser 
rápido, pois há mudanças rápidas nos valores. Calcular a velocidade média é um 
cálculo do dia a dia das pessoas, mas calcular a velocidade instantânea já não é 
algo tão comum.
A matemática elementar não tem métodos diretos para fazer esse cálculo. Vamos 
precisar da nossa atual ferramenta de estudo – as derivadas –, que, nesse 
momento, se apresentam como uma taxa de variação.
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Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
A taxa média de variação é dada pela inclinação da reta secante, que pode ser 
escrita como: .
A taxa de variação instantânea é dada pela inclinação da reta tangente, que 
pode ser escrita como: .
Ao representar algebricamente velocidades e aceleração, podemos usar letras 
diferentes das tradicionais x e y. Mais genericamente, podemos considerar que 
um corpo se move em linha reta e que é a distância percorrida até o 
instante t. Assim, temos:
 • Velocidade média do corpo no intervalo de tempo é igual a 
 ;
 • Velocidade no instante t é igual a .
De forma similar, o conceito de aceleração média e instantânea pode ser 
introduzido, considerando-se, agora, que a aceleração é a taxa de variação da 
velocidade :
 • Aceleração média do corpo no intervalo de tempo é igual a 
 ;
 • Aceleração no instante t é igual a .
1.5 Exemplos
(1) Seja a função .
(a) Determinar a taxa média de variação de y em relação a x no intervalo .
Aplicando a definição apresentada temos:
Taxa média 
18
Capítulo 1 
(b) Encontrar a taxa de variação instantânea de y em relação a x no ponto .
Taxa instantânea 
 
 
 .
(2) No instante , um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição é 
modelada pela função . Determinar:
a. A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [1,4];
b. A velocidade do corpo no instante t = 2.
Para resolver essa situação, vamos simplesmente aplicar as definições 
estabelecidas por meio de fórmulas práticas. Temos:
(a) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [1,4] é dada por
 
(b) Para calcular a velocidade do corpo no instante t = 2 é necessário usar 
 sendo no ponto t = 2.
 
19
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
1.6 Atividades de autoavaliação
Seja para a equação do movimento de uma partícula. 
Vamos considerar que s é medido em centímetros e t em segundos.
a) Determinar a velocidade no instante t = 1,5 segundos;
b) Determinar a aceleração no instante t = 1 segundo;
c) Em que momento a velocidade se anula?;
d) Em que momento a aceleraçãose anula?;
e) Supondo que o movimento é na horizontal, tomando como referência o instante 
t = 0, podemos dizer que a partícula está andando para frente? E para trás?;
f) Determinar a aceleração da partícula toda vez que a velocidade for nula.
Seção 2
Derivadas de Funções de uma Variável
Precisamos, agora, formalizar a definição de derivada de uma função de uma 
variável e, posteriormente, analisar a definição de derivadas no contexto de 
funções de duas variáveis.
2.1 Derivada de uma função y = f (x) 
O conceito de derivada passa a ser simples se você entendeu as considerações 
apresentadas na Seção 1.
A derivada de uma função é também uma função calculada pelo limite:
 .
Se esse limite existe, ele representa a derivada de uma função, que escrevemos 
como e lemos “f linha de x”.
20
Capítulo 1 
Além da notação , também é possível escrever: 
 – derivada de em relação a x; 
 – derivada de y em relação a x; 
 – derivada de y em relação a x.
Perceba que, ao calcular uma derivada em um ponto P qualquer, você está 
calculando a inclinação da reta tangente à curva dada neste mesmo ponto P. 
Além disso, a derivada pode representar a taxa de variação de uma grandeza em 
relação à outra.
Vale a pena lembrar que Newton (1643 – 1727) era fascinado pela Astronomia, 
procurando sempre observar o movimento dos planetas. Acredita-se que foi 
questionando as órbitas dos planetas, observando e estudando seus movimentos, 
que sua longa produção científica englobou as derivadas e integrais, assim como 
a base da mecânica clássica.
2.2 Exemplo
(1) Calcular a derivada da função e discutir a reta tangente no ponto x = 0.
 
Se a derivada da função é dada por , então, para um ponto 
 , temos: 
 .
Se a inclinação é igual a zero, significa que a , ou seja, . Portanto, 
nesse caso, vamos ter a reta tangente paralela ao eixo dos x. Veja na Figura 1.6 a 
representação da reta tangente no ponto .
21
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Figura 1.6 – Gráfico de com a reta tangente no ponto .
Existe um teorema que usamos para discutir a continuidade em um ponto 
a partir da existência da derivada no ponto x1 . A afirmação que pode ser 
feita é que “se a derivada existe em um ponto, a função também é contínua 
nesse ponto”.
(2) O que podemos concluir quando o limite que define a derivada em um ponto 
não existe?
Pode acontecer que o limite da definição da derivada de uma função em um 
ponto não exista. Nesse caso, dizemos que a derivada não existe no ponto. 
Esse fato é facilmente visualizado numa representação gráfica, pois um ponto 
anguloso é observável (veja a Figura 1.7).
É possível mostrar isso formalmente usando os limites laterais.
Figura 1.7 – Gráfico de uma função que possui um ponto anguloso em x = 3.
22
Capítulo 1 
(3) Verificar que a função não é derivável no ponto .
Vamos aplicar a definição e observar o que acontece.
Temos que a derivada da função dada no ponto é calculada fazendo:
 
Perceba que o limite envolve uma função modular que pode ser reescrita como:
 
Dessa forma, será necessário calcular os limites laterais, pois a função fica 
definida por duas sentenças.
No conceito de limites temos os limites laterais. Lembrando que podemos 
analisar a tendência da função pela direita e pela esquerda do zero quando temos 
o :
a. Analisando à direita do zero: 
b. Analisando à esquerda do zero: 
Se os limites laterais não são iguais, dizemos que o limite não existe, ou seja, 
não existe .
Assim, verifica-se que a função não é derivável no ponto , visto que 
o limite nesse ponto não existe.
Na Figura 1.8, temos o gráfico dessa função. É perceptível a existência de um 
ponto anguloso em .
23
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Figura 1.8 – Ponto anguloso em x = 0 da função 
2.3 Atividades de autoavaliação
1. Determine a derivada da função .
2. Analise as funções que seguem, sobre a possibilidade da existência da 
derivada em seu domínio. Faça simulações usando a visualização gráfica:
a. ;
b. .
Seção 3
Derivadas Parciais
Vamos discutir o conceito de derivada como uma taxa de variação para as 
funções de duas variáveis.
Esse conceito auxilia a análise de diversas situações problemas, como exemplo, 
podemos citar a análise da função temperatura, que depende basicamente do 
tempo e da altitude. Mais recentemente, tem-se, também, os índices de calor que 
dependem da temperatura real e da umidade do ar. A ideia é discutir a sensação 
de calor ou de mudanças de temperatura.
Como varia a temperatura em relação à altitude em um horário específico 
de um dia? Como varia a temperatura em relação ao horário do dia quando 
estamos localizados em um pico de um morro?
24
Capítulo 1 
No decorrer do estudo das derivadas no contexto de funções de várias 
variáveis, você vai encontrar ferramentas que possibilitarão encontrar respostas 
a essas questões. Basta conhecer as funções e calcular as taxas de variação 
instantâneas em situações específicas.
O conceito de derivada como taxa de variação, no caso das funções de várias 
variáveis, é igual ao de uma variável. É preciso lembrar que, ao fixar todas as 
variáveis independentes de uma função de várias variáveis, exceto uma, vamos 
obter uma função de uma variável e, portanto, podemos aplicar a definição 
de derivada de função de uma variável. Costumamos, nesse caso, denotar as 
derivadas como derivadas parciais.
O que vai acontecer com a função quando fixamos uma variável?
Ao fixar uma das variáveis da função , vamos encontrar uma curva 
resultante da intersecção do gráfico da função com um plano. Para esclarecer, 
vamos discutir detalhes que nos levam à definição das derivadas parciais.
3.1 Contextualização das derivadas parciais
Vamos considerar a função , apresentada nas Figuras 1.9 e 1.10. 
Ao fixar a variável y no ponto 2, vamos obter:
 
A curva pode ser visualizada no plano , na Figura 1.9.
Ao fixar a variável x no ponto 1, vamos obter:
 
A curva pode ser visualizada no plano , na Figura 1.10.
25
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Figura 1.9 – Curva 
Fonte: Flemming e Luz (2008, p. 87)
Figura 1.10 – Curva 
Fonte: Flemming e Luz (2008, p. 87)
Diante dessas duas funções, é possível pensar no cálculo da derivada da função 
no ponto considerado. Veja a definição que segue.
3.1.1 Definição das derivadas parciais
Sejam uma função de duas variáveis definida em um conjunto 
e Fixado , podemos considerar a função . A 
derivada de g no ponto , denominada derivada parcial de f em relação a x 
no ponto , denotada por , é definida por:
 ou 
se o limite existir.
26
Capítulo 1 
Analogamente, definimos a derivada parcial de f em relação a y no ponto 
 por
 se o limite existir.
Fazendo e , é possível usar outra notação para a definição 
das derivadas parciais. Veja:
1. Derivada parcial de f em relação a x no ponto 
 .
2. Derivada parcial de f em relação a y no ponto 
 .
Valem as notações:
• ; Dx f (x, y) ; D1 f (x, y) ; fx (x, y) ;
• ; Dy f (x, y) ; D2 f (x, y) ; fy (x, y) .
3.1.2 Exemplo
Considerando a função , apresentada nas Figuras 1.9 e 1.10, 
podemos calcular as derivadas parciais no ponto (1,2) .
A derivada parcial da função em relação a x no ponto (1,2) pode ser 
calculada usando a definição como segue:
 = = = = 
 = = –2.
27
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
A derivada parcial da função , em relação a y no ponto (1,2) , pode 
ser calcula usando a definição como segue:
 = = = = 
 = = –4.
3.1.3 Atividades de autoavaliação
Determine as derivadas parciais das seguintes funções, usando a definição:
a. ;
b. .
3.2 Inclinação da reta tangente a uma curva no espaço
Épossível visualizar a interpretação geométrica das derivadas parciais. Basta 
observar novamente as Figuras 1.9 e 1.10, pois ambas mostram caminhos para 
fazer a interpretação geométrica das derivadas parciais.
Vamos discutir, inicialmente, as declividades de retas tangentes e, na sequência, 
mostramos a existência do plano tangente à superfície em um ponto.
Supondo que a função z = f (x, y) admite derivadas parciais em pontos de seu 
domínio, podemos afirmar que: 
 • Para , temos que é uma função de uma variável 
cujo gráfico é uma curva , resultante da interseção da superfície 
 com o plano (ver Figuras 1.9 e 1.11).
A inclinação ou coeficiente angular da reta tangente à curva no 
ponto é dada por .
 • Para , temos que é uma função de uma variável 
cujo gráfico é uma curva , resultante da interseção da superfície 
 com o plano (ver Figura 1.10 e 1.11). A inclinação 
ou coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto 
 é dada por 
28
Capítulo 1 
Na Figura 1.11, são visíveis os ângulos e e as retas tangentes às curvas no 
ponto .
Figura 1.11 – Declividade das retas tangentes
3.2.1 Exemplo
Encontrar a inclinação da reta tangente à curva, resultante da interseção de 
 com:
(a) o plano y=1, no ponto (3, 1, –16);
(b) o plano , no ponto (3, 1, –16).
Para resolver o item (a), basta, no plano , considerar a equação da curva 
dada por , que tem como derivada .
A sua inclinação, no ponto (3, 1, -16), é calculada usando o fato de que 
 .
Como , temos .
Para resolver o item (b), basta, no plano considerar a equação da curva 
dada por , que tem como derivada .
A sua inclinação, no ponto (3, 1, –16), é calculada usando o fato de que 
 .
Como , temos .
29
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
3.2.2 Atividades de autoavaliação
1. Encontre a inclinação da reta tangente à curva resultante da interseção de 
 com o plano no ponto .
2. Encontre a inclinação da reta tangente à curva resultante da interseção de 
 com o plano no ponto .
Seção 4
Plano Tangente e Vetor Gradiente
Nesta seção vamos analisar inicialmente o conceito de diferenciabilidade de funções 
de várias variáveis para alicerçar o estudo do Plano Tangente e do Vetor Gradiente.
No contexto das funções de uma variável, a análise informal da diferenciabilidade ou 
a verificação da existência da derivada em um ponto é discutida a partir da existência 
de pontos angulosos no gráfico da função. Para o caso de funções de duas variáveis, 
podemos pensar na existência de “quinas”. Assim, a suavidade do gráfico é uma 
referência para a diferenciabilidade de uma função de uma ou duas variáveis.
Lembre-se de que o termo Quina lembra a existência de uma aresta, por 
exemplo, a superfície de um cubo é cheia de quinas.
4.1 Plano Tangente
4.1.1 Diferenciabilidade
Dizemos que a função é diferenciável no ponto se as derivadas 
parciais e existem e se
 , sendo que e 
 .
Dizemos que f é diferenciável num conjunto , se f for diferenciável em 
todos os pontos de A.
30
Capítulo 1 
A definição dada parece num primeiro momento muito formal, mas não podemos 
deixar de observar que é importante analisar a diferenciabilidade da função, 
principalmente quando estamos trabalhando com aplicações práticas. Deve-se 
observar a exigência de duas condições: a existência das derivadas parciais e o 
resultado zero para o limite apresentado.
A diferenciabilidade de uma função em um ponto vai implicar na continuidade 
nesse ponto.
4.1.2 Exemplo
Analisar a diferenciabilidade da função no seu domínio.
A função dada é um paraboloide virado para baixo e o seu domínio é todo o plano .
Temos que verificar as duas condições da definição:
(1) As derivadas parciais existem em todos os pontos 
Temos,
 e .
(2) Vamos analisar o limite da definição 4.1.1. Temos,
 
 
 
 
 
31
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Assim, a função é diferenciável em qualquer ponto , ou 
seja, em qualquer ponto do seu domínio.
Não esqueça que o fato das derivadas existirem não garante 
a diferenciabilidade da função. Uma condição suficiente para a 
diferenciabilidade é dada por meio de uma proposição mais formal, na qual 
acrescentamos a continuidade das derivadas parciais. 
Proposição: Seja um ponto do domínio da função Se 
 possui derivadas parciais e num conjunto aberto A que 
contém e se essas derivadas parciais são contínuas em 
então f é diferenciável em Flemming e Gonçalves (2007).
Ao analisar o gráfico de uma função de duas variáveis diferenciável em um 
subconjunto de pontos do seu domínio, denotado por A, podemos observar a 
suavidade da superfície em todos os pontos. Dessa forma é possível imaginar a 
existência de um plano tangente em qualquer um dos pontos de A. As derivadas 
parciais auxiliam na determinação desse Plano Tangente.
4.1.3 Definição de Plano Tangente
Seja uma função diferenciável no ponto no ponto Chamamos 
plano tangente ao gráfico de f no ponto ao plano dado pela equação
 .
A Figura 1.12 mostra a visualização gráfica dessa definição.
Figura 1.12 – Plano Tangente
32
Capítulo 1 
4.1.4 Exemplo
Determinar, caso exista, o plano tangente ao gráfico da função nos 
pontos e .
Para resolver vamos fazer inicialmente as derivadas parciais da função para 
qualquer ponto usando a definição. Temos:
 
 
 
Ao tentar calcular essas derivadas no ponto (0,0), vamos obter uma 
indeterminação do tipo 0/0. Assim é necessário usar a definição de derivada 
parcial no ponto (0,0). Veja:
 
Para concluir este limite é necessário usar o limite à direita e o limite à esquerda. Assim, 
 • Limite à direita: 
 • Limite à esquerda: 
Portanto, não existe o . 
33
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Dessa forma a derivada não existe e de forma similar podemos concluir 
que também não existe.
Portanto a função dada não admite plano tangente em .
Vamos agora investigar o ponto . Neste caso o plano tangente existe, 
pois as derivadas parciais existem. Veja:
 = .
 = .
Substituindo na equação do plano tangente, dada na definição 4.1.3 temos: 
 
 
 
 
 
A Figura 1.13 apresenta o gráfico do cone e do plano no ponto .
Figura 1.13 – Plano tangente ao cone elítico em 
34
Capítulo 1 
4.2 Vetor Gradiente
Um objeto matemático muito importante para ser discutido no contexto das 
funções de várias variáveis é o vetor gradiente. 
Este vetor é reconhecido na natureza quando observamos uma queda d’água em 
um morro. Intuitivamente sabemos que a água vai seguir o caminho que tem o 
maior declive. Este caminho pode ser delineado com a ideia do vetor gradiente. 
4.2.1 Vetor Gradiente
Seja uma função que admite as derivadas parciais e no 
ponto . O gradiente de f no ponto , denotado por ou 
 , é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f nesse 
ponto, ou seja, .
Geometricamente, interpretamos como um vetor aplicado no ponto 
 , isto é, trasladado paralelamente da origem para o ponto .
Para um ponto genérico usualmente representamos o vetor gradiente por:
 ou 
Analogamente, definimos o vetor gradiente de funções de mais de duas variáveis. 
Por exemplo, para uma função de três variáveis , temos:
 ou .
Observe que os vetores , e são os vetores unitários na direção dos eixos x, y 
e z respectivamente. 
35
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
4.2.2 Exemplos
Neste momento não estamos fazendo o detalhamento das derivadas parciais 
com o uso da definição, pois no capítulo seguinte vamos discutir as regras de 
derivação para facilitar todos os cálculos.
(1) Determinar o vetor gradiente da função .
Temos: 
 .
(2) Determinar o vetor gradiente da função .Temos: 
 .
(3) Determinar o vetor gradiente da função no ponto (1, 3).
Temos: ;
 .
4.2.3 Propriedades
Vamos apresentar informalmente as propriedades do vetor gradiente. Temos:
1. O vetor gradiente indica a direção de maior crescimento da função.
2. O vetor gradiente é perpendicular à curva de nível 
 que passa por .
A propriedade (2) pode ser generalizada para funções de três ou mais variáveis. 
Para funções de três variáveis , temos que ,quando não 
nulo, é normal à superfície de nível S de f em .
4.2.4 Exemplos
(1) A Figura 1.14 mostra uma imagem de satélite e a Figura 1.15 mostra um mapa 
com curvas de nível. A partir de um ponto A podemos traçar uma curva de maior 
decrescimento (caminho percorrido por uma gota de chuva). Observe que ao 
traçar a curva podemos visualizar vetores gradientes aplicados às curvas de nível.
36
Capítulo 1 
Figura 1.14 – Imagem de satélite
Figura 1.15 – Curvas de nível
4.3 Atividades de autoavaliação
1. Determine, caso exista, o plano tangente ao gráfico da função no 
ponto .
2. Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:
a) , b) , .
3. Determine, caso exista, o plano tangente ao gráfico da função 
nos pontos e .
4. Determine o vetor gradiente das seguintes funções:
a) b) .
37
Habilidades
Seções de estudo
Capítulo 2
Calculando Derivadas
Seção 1: Regras de derivação.
Seção 2: Regra da cadeia.
Seção 3: Derivadas que envolvem funções 
elementares.
A partir do estudo deste capítulo, espera-se que o 
estudante possa identificar o uso das derivadas em 
problemas que envolvem funções de várias variáveis 
e taxas de variação. Com o uso das regras de 
derivação, o estudante deverá calcular as derivadas 
das funções elementares e das funções de mais de 
uma variável.
38
Capítulo 2 
Seção 1
Regras de derivação
Nesta seção, você perceberá que calcular derivadas é ainda mais simples do que 
você pensava!
Mas a simplicidade do uso de regras de derivação não nos permite deixar de 
lembrar que a sua construção, no decorrer da história da matemática, está 
alicerçada num palco de lutas intelectuais. Há um marco histórico, quando de 
forma rápida, dizemos que Newton e Leibniz foram os inventores, por terem 
discutido métodos para o cálculo da inclinação da tangente de uma curva em 
um ponto específico. Ambos também perceberam que a integração é o inverso 
da diferenciação. Entretanto, os alicerces teóricos do cálculo foram consolidados 
posteriormente com a análise matemática.
Quando analisamos os processos de derivação, podemos pensar que o conceito 
de limites é um conceito anterior ao de derivadas, entretanto, isso não é 
verdadeiro. A discussão do conceito de derivada sob o contexto da geometria 
antecede historicamente o formalismo do cálculo de limites.
Com a compreensão intuitiva dos limites, podemos alicerçar a definição de 
derivada de uma função e discutir as regras de derivação como uma metodologia 
para o cálculo das derivadas. Entretanto, é importante deixar aqui o registro que 
essa escolha metodológica não nos exime de continuar os estudos do cálculo de 
uma forma mais profunda, em momentos posteriores, quando retomarmos todo o 
formalismo do cálculo e da análise.
A partir da definição, as regras são deduzidas e não há complexidade para tal 
processo.
39
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
1.1 Cálculo da derivada de funções de uma variável
O Quadro 2.1 tem vários exemplos das regras de derivação. Veja, na sequência, 
como podemos demonstrar a derivada de uma soma. 
Quadro 2.1 – Exemplos iniciais de regras de derivação
Regra Função Derivada
Derivada de uma 
constante.
 , c é uma constante. 
Regra da potência. , n inteiro positivo 
Derivada do produto de 
uma constante por uma 
função.
 , c é uma 
constante.
 
Derivada de uma soma. 
Derivada de um produto. 
Derivada de um 
quociente.
 , com .
 
Neste momento, estamos trabalhando sempre com funções de uma variável do 
tipo 
Supondo que estamos diante de uma soma de funções: 
 .
Para calcular a derivada de , escreve-se o limite:
 
Apenas reescrevendo os termos desse limite, tem-se:
 
40
Capítulo 2 
1.2 Exemplos
Usando as regras de derivação, como mostra o Quadro 2.1, calcule as derivadas 
das funções dadas:
(1) 
Usando a derivada de uma constante, temos: .
(2) 
Usando a Regra da Potência, temos: .
(3) 
Usando a derivada do produto de uma constante por uma função, temos:
 . Para determinar usamos a regra da potência, assim, 
 .
(4) 
Perceba que pode ser vista como o produto de uma constante por 
uma função, assim, a derivada é dada por:
 
(5) 
A função é a soma de outras quatro funções. Assim, usamos a derivada de 
uma soma:
 
41
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
(6) 
Perceba que a função y é dada pelo produto das funções e . 
Usando a derivada de um produto, teremos:
 
É comum realizarmos as multiplicações para, quando possível, simplificar a 
expressão da derivada. Neste exemplo temos:
 
(7) 
Usando a derivada de um quociente, temos que e . 
Então, a derivada será dada por:
 
Observe que em todos os exemplos usamos a notação da derivada de uma função 
 como . Mas também podemos usar a notação .
42
Capítulo 2 
1.3 Cálculo de derivadas parciais
Na prática, podemos obter as derivadas parciais mais facilmente, usando as 
regras de derivação das funções de uma variável. Nesse caso, para calcular a 
derivada parcial da função em relação a x, ou , mantemos y 
constante e, para calcular a derivada parcial em relação a y, ou , vamos 
manter o x como constante.
As regras de derivação podem ser usadas, basta que você lembre que uma das 
variáveis é considerada constante. Os exemplos que seguem ilustram essa prática.
1.4 Exemplos
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
(1) 
Mantendo y constante, podemos usar as regras de derivação para calcular a 
derivada parcial da função em relação a x. Temos:
 
 
Analogamente, mantendo x constante, obtemos:
 
 
(2) 
Vamos aplicar a regra do produto para cada uma das derivadas parciais.
 
43
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
 
1.5 Atividades de autoavaliação
1. Calcule a derivada das seguintes funções:
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
i) j) 
2. Encontre as derivadas parciais das seguintes funções:
a. c. 
b. d. 
44
Capítulo 2 
Seção 2
Regra da cadeia
No estudo das funções, é comum tratarmos de funções compostas. Por exemplo, 
se e , então, diz-se que (leia f bola g ou f composta com 
g) será dada por:
 .
Tendo em mente as funções compostas, o interesse desta seção é mostrar uma 
regra das derivadas que envolvem a composição de funções e, por esse motivo, 
possibilita o cálculo de derivadas de funções mais elaboradas.
2.1 Aplicando a regra da cadeia no contexto de funções de uma 
variável
A regra da cadeia enuncia que, se tivermos uma função , sendo que 
 , é possível calcular se conhecermos e .
Podemos escrever:
 .
Assim, a derivada de y em relação a x é calculada pelo produto da derivada de y 
em relação a u e da derivada de u em relação a x.
2.1.1 Exemplos
(1) Calcule a derivada sendo e .
Vamos calcular as derivadas e :
 
45
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Usando a regra da cadeia, dizemos que é dada pelo produto das derivadas 
calculadas:
 
 .
Substituindo temos:
 .
(2) Dada a função , encontre .
É possível reescrever a função y da seguinte forma:
 , sendo .
Usando a regra da cadeia, é possível encontrar por meio do produto 
 . Assim, temos:e .
Perceba que pode ser calculada pela regra do quociente:
 
46
Capítulo 2 
Portanto, para y = 2x + 5
x 2 + 3
 
 
 
 
 
 
10
 , usando a regra da cadeia temos que:
2.1.2 Tabela de derivadas
Como consequência da regra da cadeia, é possível formular resultados 
importantes para o cálculo de derivadas. Veja a proposição destacada.
Proposição: Se , sendo e n um número inteiro não nulo, então 
 .
Podemos generalizar essa proposição e torná-la uma regra para ser usada 
quando n é um número racional.
Para auxiliar na resolução de exercícios, as regras de derivação são agrupadas 
em uma Tabela de Derivadas, que você encontra no Anexo deste livro. Nesta 
tabela, as regras de derivação já absorvem a regra da cadeia. Por exemplo, 
vamos transcrever aqui, na Tabela 2.1, as regras iniciais e você poderá 
inicialmente fazer uma comparação com o que foi apresentado no Quadro 2.1. 
Observe que, na Tabela 2.1, estamos considerando a aplicação da regra da 
cadeia com: ; ; e c e m como constantes, sendo que .
47
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Tabela 2.1 – Tabela inicial das derivadas
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
(7) 
Nos próximos exemplos, você poderá visualizar a aplicação das regras de 
derivação e da regra da cadeia. Tenha a tabela de derivadas sempre à mão quando 
estiver analisando exemplos e resolvendo exercícios que envolvem as derivadas.
2.1.3 Exemplos
Calcule a derivada das funções dadas aplicando as regras de derivação e a regra 
da cadeia quando necessário:
(a) 
Neste exemplo, vamos derivar a função encontrando , usando da 
regra do quociente:
 
48
Capítulo 2 
(b) 
Usando a regra do produto, temos:
 
(c) 
Usando a generalização da regra da potência, vamos aplicar a regra da cadeia 
(Tabela 2.1 (7)). Considerando que , temos:
 
(d) 
É possível reescrever a função usando expoente fracionário. Veja:
 .
Agora, basta derivar y usando a regra da potência, indicada na Tabela 2.1 (7):
 
49
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
(e) 
Podemos reescrever a raiz quadrada, usando expoente fracionário , 
e derivar a função y, usando inicialmente a regra da soma (Tabela 2.1 (4)) e, 
posteriormente, a regra da potência:
 
(f) 
Para derivar esta função, vamos novamente reescrever a raiz quadrada como um 
expoente fracionário. Assim, a derivada pode ser calculada a partir da regra do 
quociente (Tabela 2.1 (6)):
 
 
50
Capítulo 2 
(g) 
Reescrevendo a função, temos: . A derivada será dada pela 
aplicação da regra do produto das funções e :
 
Observe atentamente que a escolha inicial da regra de derivação a ser usada é 
fundamental para a resolução completa do cálculo da derivada de uma função. 
Fique atento que, na apresentação final, as simplificações algébricas devem ser 
realizadas, mas usando-se sempre a coerência em termos de “trabalho braçal”, pois 
nem sempre o desenvolvimento de uma potência, raiz ou outra operação, possibilita 
um visual mais claro da expressão.
2.1.4 Atividades de autoavaliação
Calcule a derivada das funções dadas:
a. b. 
c. d. 
e. f. 
g. h. 
i. j. 
51
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
2.1.5 Uso das regras de derivação para o cálculo das derivadas parciais
A Tabela 2.1 foi concebida para o contexto das funções de uma variável, mas 
podemos aplicá-la no contexto das derivadas parciais, considerando que, ao 
fazer a derivada parcial da função em relação a x, vamos considerar 
o y como uma constante e, ao fazer a derivada parcial da função em 
relação a y, vamos considerar o x como uma constante. Além disso, a função u 
é, de um modo geral, uma função de duas variáveis ou mais variáveis. Veja as 
situações que seguem, com a função e . 
(1) Dada a função , podemos reescrever usando potência 
fracionária:
 .
Assim, podemos aplicar a regra da Tabela 2.1 (7) para calcular as derivadas 
parciais, considerando que :
(a) Derivada parcial de em relação a x
 = 
 = = .
(b) Derivada parcial de em relação a y
 = 
 = = .
Observe que estamos usando as notações e para 
representar a derivada da função em relação a x e em relação 
a y respectivamente.
52
Capítulo 2 
(2) Para a função , podemos usar a Tabela 2.1 (5), 
considerando que e . Assim, temos:
(a) Derivada parcial de em relação a x
 
(b) Derivada parcial de em relação a y
 
2.1.6 Atividades de autoavaliação
Calcule as derivadas parciais e das funções dadas:
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
2.2 A Regra da cadeia no contexto das funções de várias 
variáveis
Nesta seção, vamos fazer o estudo da Regra da Cadeia para funções de várias 
variáveis. Você terá a oportunidade de verificar a similaridade com o contexto 
de funções de uma variável. Vamos ter situações específicas que envolvem uma 
regra de diferenciação de uma função composta.
53
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Inicialmente, vamos trabalhar com dois casos de composição e, posteriormente, 
vamos escrever a generalização da regra.
A Tabela 2.2 apresenta os dois casos que serão analisados.
Tabela 2.2 – Teoremas resumidos
CASO Funções diferenciáveis Regra da Cadeia
I
 
 
II
 
 
 
Observem que, no quadro apresentado, tem-se um resumo de dois famosos 
teoremas aqui destacados.
Teorema 1: Regra da Cadeia para funções de duas variáveis independentes.
Se for diferenciável e x e y forem funções diferenciáveis em t, então, z 
será uma função diferenciável de t e .
Teorema 2: Regra da Cadeia para funções de duas variáveis independentes e duas 
variáveis intermediárias.
Se for diferenciável e x e y forem funções diferenciáveis, então, z será 
uma função diferenciável e vale a regra:
 
 .
(Veja a demonstração em Flemming e Gonçalves, 2007)
Antes de exemplificar, vamos apresentar uma representação gráfica da Regra da 
Cadeia. A ideia é auxiliar na montagem da regra. Veja o Quadro 2.2.
54
Capítulo 2 
Quadro 2.2 – Representações semióticas da regra da cadeia
CASO Representação semiótica Regra da Cadeia
I
 
II
 
 
 
Observe que, na representação semiótica apresentada no Quadro 2.2, usamos 
a disposição apresentada na Figura 2.1. Para escrever a regra, basta seguir as 
setas para montar as derivadas parciais e efetuar os produtos. Ao final, adiciona-
se os produtos encontrados.
Figura 2.1 – Montagem da regra da cadeia
A Figura 2.1 também facilita visualizar que as expressões do caso II podem ser 
escritas com uma representação matricial. Veja:
 .
55
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
2.2.1 Exemplos
(1) Verifique a fórmula do caso I da regra da cadeia para
 com e .
Para verificar a fórmula df
dt
f
x
dx
dt
f
y
dy
dt
= +
∂
∂
∂
∂
 
 
 
 
. . , vamos encontrar inicialmente a 
função composta. Temos,
 
 
Assim, usando a expressão anterior obtemos .
Ao usar a regra da cadeia, vamos fazer:
df
dt
f
x
dx
dt
f
y
dy
dt
= +
∂
∂
∂
∂
 
 
 
 
. . 
 .
Observe que, em geral, o uso da Regra da Cadeia reduz os cálculos. É ideal 
sempre deixar a resposta na variável solicitada, neste exemplo, na variável t.
(2) Dada , e , encontre a derivada usando a 
Regra da Cadeia.
Usando a regra da cadeia temos:
 = ∂
∂
∂
∂
 
 
 
 y
f
x
dx
dt
f dy
dt
. .+ 
= 
Fazendo a substituição das variáveis e , temos: 
= = 
(3) Verifique a fórmula do caso II da regra da cadeia para
 sendo e .
Podemos usar a forma matricial:
 .
56
Capítulo 2 
Aplicando o cálculo das derivadas indicadas, temos:Dessa forma, temos que:
(a) A derivada de z em relação a u é dada por:
 
Substituindo o valor de x, temos:
∂
∂
 
 
z
u
u v uv= − + +1 2 4 3( ) .
(b) A derivada de z em relação a v é dada por:
 
 
x u v x u v= - + = - +( ).1 2 1 1 6 1 2 62 2 2 2 
Substituindo o valor de x, temos:
∂
∂
 
 v
z u v u v= − + +1 2 6 2 2( ) .
Para verificar a regra da cadeia, podemos, inicialmente, substituir os valores de 
 e na função . Veja:
 
Dessa forma, temos as derivadas parciais e podemos observar que vamos obter 
os resultados iguais ao processo anterior.
∂
∂
 
 
z
u
uv u v= + − −1 4 2 23 . 
∂
∂
 
 
z
v
u v u v= + − −1 6 2 22 2 . 
2.2.2 Atividades de autoavaliação
1. Verifique a fórmula da regra da cadeia para a função 
com e .
2. Dada , e , calcule a derivada usando 
a Regra da Cadeia.
3. Verifique a fórmula da regra da cadeia para a função , sendo 
 e .
4. Escreva o sistema matricial e a fórmula genérica da regra da cadeia para o 
caso da função , sendo e 
57
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Seção 3 
Derivadas que envolvem funções elementares
Após estudar a regra da cadeia e as principais regras de derivação, você pode, 
agora, conhecer as regras de derivação que envolvem funções elementares, tais 
como exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas.
Lembre-se que essas funções já foram estudadas e a derivada de cada uma 
delas representa a inclinação da reta tangente em um ponto x qualquer. Além 
disso, na Tabela de Derivadas, você encontrará todas as regras de derivação que 
serão apresentadas nesta seção.
3.1 Derivadas das funções exponencial e logarítmica
Veja na Tabela 2.3 as regras de derivação para as funções exponencial e 
logarítmica, lembrando que foram deduzidas a partir do cálculo do limite que 
define a derivada de uma função qualquer.
Tabela 2.3 – Continuação da tabela das derivadas (funções exponenciais e 
logarítmicas)
(8) com e 
(9) com e n0. neperiano 
(10) com e 
(11) 
(12) com u > 0
3.1.1 Exemplos
Determine a derivada das seguintes funções, usando as regras de derivação.
(a) 
 
58
Capítulo 2 
(b) 
.
(c) 
 
(d) 
(e) 
 
3.1.2 Atividades de autoavaliação
Determine as derivadas das funções, usando as regras de derivação.
a) b) 
c) d) 
e) f) 
59
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
3.2 Derivadas das funções trigonométricas e trigonométricas 
inversas
Veja na Tabela 2.4 as regras de derivação para as funções trigonométricas e 
trigonométricas inversas.
Tabela 2.4 – Continuação da tabela das derivadas (funções trigonométricas e suas 
inversas)
(13) 
(14) 
(15) 
(16) 
(17) 
(18) 
(19) 
(20) 
(21) 
(22) 
(23) com |u| >1
(24) com |u| ≥1
60
Capítulo 2 
3.2.1 Exemplos
Determine a derivada das seguintes funções, usando as regras de derivação.
(a) 
 
Perceba que a expressão não multiplica o argumento do seno, mas sim, 
toda a função seno.
(b) 
 
(c) 
61
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
(d) 
(e) 
(f) 
3.2.2 Atividades de autoavaliação
Determine a derivada das funções, usando as regras de derivação.
a) b) 
c) d) 
e) f) 
62
Capítulo 2 
3.3 Derivadas parciais de funções que envolvem funções mais 
gerais
Podemos ter funções de duas variáveis que envolvem as exponenciais, 
logaritmos e funções trigonométricas. De acordo com toda a discussão contida 
neste capítulo, aplicamos sempre as regras de derivação para calcular as 
derivadas parciais, com a consideração de que uma delas é constante.
3.3.1 Exemplos
(1) Calcule as derivadas parciais das seguintes funções
(a) 
Temos: 
(b) 
63
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
3.3.2 Atividades de autoavaliação
1. Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
a) b) 
c) d) 
2. Dada , e , calcule a derivada , 
usando a Regra da Cadeia.
3. Calcule as derivadas parciais e da função , sendo 
 e .
3.4 Uso das regras de derivação em aplicações
No decorrer do capítulo 1 foram discutidas as definições das derivadas de 
funções de uma ou mais variáveis. Algumas aplicações surgem naturalmente 
consideradas geométricas. Por exemplo, temos:
 • A inclinação da reta tangente à curva em um ponto 
é dada por .
 • A equação da reta tangente à curva no ponto de tangência 
 é dada por ou .
 • A inclinação da reta tangente à curva no espaço definida pela 
intersecção da superfície com um plano , no ponto 
 , é dada por .
 • A inclinação da reta tangente à curva no espaço definida pela 
intersecção da superfície com um plano , no ponto 
 , é dada por .
 • Quando a função tem as derivadas parciais 
no ponto podemos calcular a equação do 
plano tangente à superfície no ponto dado. Temos: 
 .
64
Capítulo 2 
 • Quando a função tem as derivadas parciais no ponto 
 podemos calcular o vetor gradiente que é dado por: 
 ou , sendo que as derivadas 
são aplicadas no ponto.
Em todas as aplicações citadas vamos usar o cálculo das derivadas e podemos 
sempre aplicar as regras de derivação nos cálculos. Os exemplos que seguem 
mostram essa opção de cálculo.
3.4.1 Exemplos que envolvem funções de uma variável
(1) Calcular a inclinação da reta tangente à curva no ponto .
A inclinação da reta tangente à curva no ponto é calculada por meio 
das derivadas:
 .
Temos que:
 
Aplicando no ponto dado temos:
 .
Lembrando que este valor obtido representa a tangente do ângulo, medido em 
radianos, que a reta tangente à curva no ponto dado faz com o eixo dos x.
Na figura 2.2 temos a representação do exemplo.
65
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Figura 2.2 – Inclinação da reta tangente
(2) Calcular a equação da reta tangente à curva da no exemplo (1).
A equação da reta tangente à curva no ponto , isto é no ponto de 
tangência , é dada por:
.
 
3.4.2 Exemplos que envolvem funções de duas variáveis
(1) Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de 
 com:
(a) o plano no ponto ;
(b) o plano no ponto .
Para resolver o item (a) podemos fazer a derivada parcial da função 
 em relação a x e aplicar no ponto dado. Temos:
.
 
Assim, temos que .
66
Capítulo 2 
Para resolver o item (b) podemos fazer a derivada parcial da função 
 em relação a y e aplicar no ponto dado. Temos:
 
Assim, temos que 
(2) Escrever a equação do plano tangente à superfície no ponto 
 .
No exemplo anterior já calculamos as derivadas parciais no ponto dado, portanto, 
basta aplicar os dados na equação do plano tangente. Temos:
 
(3) Dada a função (ver Figura 2.3), achar o vetor gradiente no 
ponto 
O vetor gradiente é calculado como:
. 
67
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Figura 2.3 – Função 
A curva de nível que pode ser visualizada na Figura 2.4. Podemos 
observar que o vetor gradiente é perpendicular a reta tangente à 
curva no ponto 
Figura 2.4 - Curva de Nível e Vetor Gradiente
68
Capítulo 2 
3.4.3 Atividades de autoavaliação
1. Calcular a inclinação da reta tangente à curva no ponto .
2. Calcular a equação da reta tangente à curva nos pontos:
a) 
b) .
3. Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de 
 com:
a) o plano no ponto ;
b) o plano no ponto .
4. Determine, caso exista, o plano tangente ao gráfico da função no 
ponto .
5. Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:
a) , ;
b) , .
69
Habilidades
Seções de estudo
Capítulo 3
DerivadasSucessivas, 
Derivação Implícita e Diferencial
Seção 1: Derivadas sucessivas
Seção 2: Derivação implícita
Seção 3: Diferencial
A partir do estudo deste capítulo espera-se que o 
estudante possa discutir situações práticas que 
requerem o uso das derivadas sucessivas e funções 
escritas na forma implícita. Além disso, por meio de 
técnicas e aplicações, ampliará a sua visão para a 
diferença entre o conceito de derivadas e o conceito 
de diferenciais.
70
Capítulo 3 
Seção 1
Derivadas sucessivas
Após ter estudado e exercitado as regras de derivação, veja que é possível derivar 
quantas vezes você achar interessante!
É o que se chama de derivação sucessiva, a derivada da derivada, da derivada, 
da derivada etc.
1.1 Derivadas sucessivas de funções de uma variável
As derivadas sucessivas de uma função f são denotadas como exemplos a seguir:
 • Derivada de f ou derivada de primeira ordem: ou 
 • Derivada segunda de f ou derivada de segunda ordem de 
f : ou 
 • Derivada terceira de f ou derivada de terceira ordem de f: 
ou 
 • Derivada quarta de f ou derivada de quarta ordem de f: 
ou 
 • Derivada de ordem 10 de f : ou 
 • Derivada de ordem n de f : ou 
1.1.1 Exemplos
(1) Calcular a derivada de terceira ordem da função .
Para calcular a derivada de terceira ordem, é necessário derivar sucessivamente 
três vezes a função dada:
(2) Determinar a derivada de segunda ordem da função .
Num primeiro momento, vamos reescrever a função 
.
71
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
A derivada de segunda ordem é a derivada da derivada:
Para derivar novamente, perceba que agora a função está escrita como o produto 
de por Assim, usando a regra do produto, temos:
(3) Determinar a derivada de segunda ordem da função .
72
Capítulo 3 
(4) Determinar a derivada de ordem da função .
Para determinar a derivada solicitada, vamos derivar a função 
sucessivamente:
.
Perceba que as derivadas começarão a se repetir, visto que . Pelo 
menos, não será necessário derivar 100 vezes!
Para perceba que, a partir da quarta ordem, as derivadas 
começam a se repetir. Vamos numerar estas derivadas (ver Quadro 3.1).
Quadro 3.1 – Derivadas sucessivas
(1) (5) (9) E assim sucessivamente, até 
que se chegue em 
que será igual ao . Assim, (2) (6) (10)
(3) (7) (11)
(4) (8) (12)
Dividindo 100 por 4 teremos como resultado 25. Isso significa que até chegar 
em as derivadas passarão 25 vezes em e encerrarão nesta 
ordem.
Se fosse 103, ao dividirmos por 4 teríamos 25 inteiros e o resto seria igual a 3. Então:
.
1.1.2 Atividades de autoavaliação
1. Encontre a derivada de quarta ordem da função .
2. Determine a derivada de segunda ordem das funções:
a) b) 
3. Determine a derivada de terceira ordem da função .
4. Determine a derivada de ordem 153 de .
73
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
1.2 Derivadas sucessivas de funções de duas variáveis
Se é uma função de duas variáveis, então, em geral, suas derivadas 
parciais de primeira ordem são, também, funções de duas variáveis. Se as 
derivadas dessas funções existem, elas são chamadas derivadas parciais de 
segunda ordem de .
Temos quatro derivadas parciais de segunda ordem. A partir da derivada de f em 
relação a x, obtemos as seguintes derivadas parciais de segunda ordem:
.
A partir da derivada obtemos:
.
As derivadas e são conhecidas como derivadas parciais 
mistas.
1.2.1 Exemplos:
(1) Dada a , determinar suas derivadas parciais de 
segunda ordem.
As derivadas parciais de primeira ordem de f são:
 e .
A partir de obtemos:
74
Capítulo 3 
.
A partir de obtemos:
.
(2) Dada a , determinar e .
Temos:
.
Observando os resultados obtidos nos exemplos (1) e (2), vemos que, em ambos 
os casos, as derivadas parciais mistas de segunda ordem, e são 
iguais. Isso ocorre para a maioria das funções que aparecem frequentemente na 
prática. Temos o seguinte teorema.
1.2.2 Teorema de Schwartz
Seja uma função com derivadas parciais de segunda ordem definidas 
em uma região aberta contendo um ponto todas contínuas em , então 
.
75
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
Podemos ter derivadas de terceira ordem, quarta ordem etc. Basta seguir o 
mesmo raciocínio anterior. Veja, por exemplo:
 • Derivada parcial de terceira ordem em relação a x: 
.
 • Derivada mista de terceira ordem: .
 • Derivada mista de terceira ordem: .
 • Derivada de quarta ordem em relação a y: 
.
O Teorema de Schwartz pode ser generalizado para as derivadas mistas 
de ordem superior. De forma geral, podemos dizer que: “Se todas as 
derivadas parciais em questão forem contínuas num conjunto aberto 
A, então, para os pontos de A, a ordem da derivação parcial pode ser 
mudada sem alterar o resultado.”
1.2.3 Exemplo
Dada a função , calcular ; , e .
Para o cálculo de :
.
76
Capítulo 3 
Para o cálculo de , temos:
.
Para o cálculo e temos:
Usando o Teorema de Schwartz, podemos dizer que = para um 
conjunto em que as hipóteses do teorema são válidas. Assim, 
.
É importante observar que as notações do tipo são lidas na 
seguinte forma: 
Derivada de primeira ordem em relação a x. 
Derivada de segunda ordem em relação a y. 
Derivada da terceira ordem em relação a y. 
1.2.4 Atividades de autoavaliação
1. Encontre as derivadas de segunda ordem da função .
2. Encontre as derivadas parciais de terceira ordem da função .
3. Determine as derivadas parciais indicadas considerando:
a) , .
77
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
b) , , .
4. Diante de uma função de três variáveis , calcular:
 e . Constante que os resultados são iguais.
Seção 2
Derivação implícita
2.1 Derivadas de funções de uma variável escritas 
implicitamente
Existem algumas funções que são escritas na forma implícita.
Você sabe o que isso significa?
Para entender, veja a equação:
.
Perceba que, ao isolar a variável y, você terá uma função do segundo grau, dada por:
.
Portanto, uma é definida na forma implícita se puder ser escrita como 
uma equação e, ao substituir y por esta equação se torna uma 
identidade.
Na equação ao substituir tem-se:
ou seja, uma identidade.
Mas por que falar em derivação de funções na forma implícita?
78
Capítulo 3 
Isso acontece, pois nem sempre é possível encontrar a função na forma explícita, 
ou ainda, quando possível, há casos em que existem infinitas formas explícitas de 
uma mesma função.
Por exemplo, não é possível encontrar na equação .
Em existem infinitas maneiras de escrever dentre elas,
.
Portanto, justifica-se a importância de se determinar a derivada das funções 
escritas na forma implícita, sem que seja necessário isolar uma das variáveis em 
relação às demais.
Para derivar uma função escrita na aplicam-se as regras de derivação 
e a regra da cadeia sem que seja necessário escrever . Os exemplos irão 
ajudá-lo a entender melhor este tipo de derivação.
2.1.1 Exemplos
(1) Encontrar da função derivável , definida implicitamente pela 
equação .
Para derivar ambos os lados da equação:
.
Usando a regra da cadeia temos:
.
Diante de uma função y = f(x), perceba que a derivada da variável 
independente (x) é igual a 1 e a derivada da variável dependente (y) é igual .
79
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
Isolando teremos: 
(2) Determinar das funções definidas implicitamente pelas equações:
(a) 
(b) 
80
Capítulo 3 
2.1.2 Atividades de autoavaliação
Encontre das funções definidas implicitamente pelas equações:
a) .
b) .
c) .
2.2 Derivadas de funções de duas variáveis escritas implicitamente
No estudodas funções de uma variável, podemos observar que uma é 
definida implicitamente pela equação se, ao substituirmos por 
na equação, esta se transforma numa identidade. 
Analogamente, dizemos que uma é definida implicitamente pela 
equação se, ao substituirmos por a equação se reduz a 
uma identidade.
Por exemplo, seja o hemisfério que pode ser definido 
implicitamente pela equação da esfera de raio r definida por: .
Estamos diante de uma situação matemática, na qual a regra da cadeia é o ponto 
de partida.
Inicialmente, vamos considerar a situação em que a função implícita 
está definida pela equação .
Admitindo que e são funções diferenciáveis e que no ponto , 
podemos obter a derivada , aplicando a regra da cadeia, temos,
 ou .
2.2.1 Exemplo:
(1) Sabendo que a função é definida implicitamente pela equação 
, determinar sua derivada .
A função dada é definida implicitamente pela equação , sendo que 
.
81
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
Sabemos que: e , vamos usar a expressão já 
estabelecida para o cálculo:
 
 ( . 
Assim, o resultado para este exemplo é um valor constante.
2.2.2 Função de duas variáveis
Vamos agora discutir a situação em que a função é definida pela 
equação .
Admitindo que e são funções diferenciáveis e que no ponto e , 
usando a regra da cadeia, podemos obter as derivadas parciais e . 
Temos:
(a) Derivando em relação a x:
ou 
 com 
82
Capítulo 3 
(b) Derivando em relação a y, obtemos:
 com .
2.2.3 Exemplo
Sabendo que a função é definida pela equação 
, determinar e .
A função é definida pela equação , sendo 
.
Como , e , usando as 
expressões estabelecidas temos:
.
Em todas as situações analisadas partimos da premissa de que as funções 
diferenciáveis estão definidas implicitamente e, então, determinamos as derivadas 
correspondentes. Nem sempre as expressões dadas definem funções na forma 
implícita. Nesse caso, se adotarmos os procedimentos descritos, podemos 
encontrar resultados totalmente não significativos.
O Teorema da Função Implícita, considerado um dos principais teoremas do 
Cálculo Avançado ou da Análise Matemática, em suas várias versões, assegura 
condições suficientes para que os procedimentos descritos nesta seção sejam 
consistentes ou nossa hipótese seja válida.
83
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
2.2.4 Teorema da Função Implícita
Temos duas versões para fazer a contextualização:
Versão 1: Se definida numa bola aberta sendo: , 
 e e são funções contínuas nessa bola, então a equação 
 define y como uma função de x perto do ponto e a derivada 
dessa função é dada pela equação .
Versão 2: Se é definida dentro de uma esfera contendo , sendo: 
, e , e funções contínuas dentro da esfera, 
então a equação define z como uma função de x e y perto do ponto 
 e as derivadas parciais dessa função são dadas por
 e .
2.2.5 Atividades de autoavaliação
1. Sabendo que a função diferenciável é definida implicitamente pela 
equação , determine sua derivada .
2. Sabendo que a função diferenciável é definida pela equação 
, determine e .
3. Supondo que a função diferenciável é definida implicitamente pela 
equação , determine sua derivada .
84
Capítulo 3 
Seção 3
Diferencial
Inicialmente, vamos discutir a diferencial no contexto de funções de uma variável 
e na sequência vamos discutir no contexto de funções de duas variáveis.
3.1 Conceito e representação gráfica das diferenciais
Quando temos podemos automaticamente usar a derivada . Nesta seção 
vamos olhar para essa notação de forma mais significativa, pois vamos analisar o 
significado e e discutir como uma razão que representa taxa de variação.
Newton e Leibniz usaram diferentes notações para a derivada de uma 
função. Por mais de 50 anos, houve uma grande disputa sobre qual era a 
melhor notação. Venceu a notação de Leibniz, que denota a derivada 
como uma razão das diferenciais dy e dx.
Para entender o conceito de diferencial no caso de funções de uma variável, veja 
a Figura 3.1.
Figura 3.1 – Representação dos acréscimos e diferenciais
x
y
y2
dy
y1
Δy
dx
x1 x2
Δx
y=f(x)
É possível representar uma variação na variável x como . A variação de 
x origina uma variação de y, representada por e definida por:
85
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
.
Veja na Figura 3.1 a representação e .
Os símbolos e que aparecem na derivada são chamados de diferenciais. 
Assim, temos que a diferencial da variável independente x será dada .
Por outro lado, a diferencial da variável dependente y, será dada .
Como , então
.
Veja na Figura 3.1 a representação das diferenciais e .
Ainda na Figura 3.1, perceba que: se a distância for pequena, então a 
diferença entre e torna-se cada vez menor. 
Na prática, quando tende para zero, é possível dizer que é 
aproximadamente igual a ( ).
3.1.1 Exemplos
(1) Calcular o acréscimo e a diferencial para a função 
quando e .
Num primeiro momento, vamos determinar fazendo:
86
Capítulo 3 
A diferencial será , sendo a derivada de dada 
por: .
Ainda, e 
Observar que a diferença entre e dy é pequena.
(2) Determinar e na função no ponto x = 4 com .
(3) Use diferenciais para estimar o erro na medida da resistência elétrica R de um 
fio, que é dada por , sendo k uma constante e r o raio do fio. No momento 
em que o foi medido, acredita-se que houve um erro de 0,05.
Podemos escrever a função que mede a resistência elétrica de um fio como 
. Do enunciado do problema, é possível dizer que , portanto, 
.
Vamos calcular o erro na medida da resistência elétrica, , fazendo:
87
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
.
Portanto, o erro é de, aproximadamente, unidades de resistência 
elétrica.
3.1.2 Atividades de autoavaliação
1. Encontrar e para as funções indicadas:
a) , , b) , , 
2. Use diferenciais para estimar o volume de cobre na cobertura de um cubo de 
aço com 20cm de lado e coberto com 0,01cm de cobre.
3.2 Diferencial de funções de várias variáveis
Para discutir o conceito de diferencial de várias variáveis é conveniente lembrar 
que o plano tangente a uma superfície em um ponto é uma boa aproximação da 
superfície nas proximidades do ponto.
É usual afirmar que estamos diante de uma aproximação linear ou que a função 
dada foi linearizada.
A diferencial é usada para analisar a sensibilidade à variação. Por exemplo, como 
vai variar o volume de um recipiente quando a espessura do vasilhame sofre 
pequena alteração.
3.2.1 Definição
Seja uma função diferenciável no ponto . Se nos movermos do 
ponto para um ponto próximo, , a variação resultante na 
linearização de é chamada de diferencial total de f (x, y) e é dada por 
.
88
Capítulo 3 
Tradicionalmente podemos dizer que as diferenciais das variáveis 
independentes são dadas por: dx = Δx e dy = Δy e a diferencial de z é 
aproximadamente igual ao acréscimo Δz. Neste caso usamos a notação 
. Lembrando que Δx e Δy são os acréscimos das variáveis 
independentes e Δz o acréscimo da variável dependente.
3.2.2 Exemplos:
(1) Calcular a diferencial no ponto (3, 3).
Usando a definição de diferencial, temos:
.
Assim, e
.
Portanto, .
(2) Sabemos que ao medir determinados objetos podemos cometer erros relativos 
aos instrumentos e também relativos ao visual do operador. Assim, veja a 
seguinte situação:
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e 
obtivemos as medidas raio da base = 8cm e altura = 20cm com um possível erro 
de no máximo 0,1cm.
Podemos utilizar a diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo dovolume do cone.
Temos os seguintes dados para resolver o problema:
 • Função volume: ;
 • Derivadas parciais: e ;
 • Dados: ponto ; e .
89
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
Assim, ou 
seja, o erro máximo é de .
(3) O conceito de diferencial pode ser usado para funções com mais 
de duas variáveis. Por exemplo, podemos calcular a diferencial da 
 no ponto .
Neste caso, podemos dizer que:
.
Temos:
;
;
.
Portanto, .
3.2.3 Atividades de autoavaliação
1. Calcule a diferencial no ponto .
2. Generalize o conceito de diferencial e calcule a diferencial de 
 no ponto (1,1,1).
3. As dimensões de uma caixa retangular são medidas como 25cm, 60cm e 30cm, 
cada medida feita com precisão de 0,2cm. Use diferenciais para estimar o maior valor 
possível do erro quando calculamos o volume da caixa usando essas medidas.
4. Calcule e da função f(x,y) = x – x3y2 considerando e 
. Comparar os resultados obtidos.
5. Calcule a diferencial das seguintes funções: 
a) b)
90
Capítulo 3 
6. A energia consumida num resistor elétrico é dada por watts. 
Se volts e ohms, calcule um valor aproximado para a variação de 
energia quando V decresce de 0,001 volts e R aumenta de 0,02 ohms.
91
Habilidades
Seções de estudo
Capítulo 4
Seção 1: Taxa de variação.
Seção 2: Análise de comportamento das funções.
A partir da identificação e discussão de situações 
práticas, modeladas com funções de uma ou mais 
variáveis com diversas representações semióticas e 
taxas de variação, espera-se que o estudante possa 
analisar o comportamento das funções usando 
gráficos e técnicas de derivação.
Aplicações Elementares
92
Capítulo 4 
Seção 1
Taxa de Variação
Nesta seção você vivenciará a resolução de problemas cuja modelagem e 
resolução requer o uso de derivadas. Em geral, são problemas que envolvem uma 
taxa de variação.
Veja algumas questões que podem ser respondidas nesta seção.
O que é taxa de variação? 
Por que a velocidade e aceleração são consideradas interpretações físicas 
da derivada?
1.1 A derivada como taxa de variação
Na introdução do conceito de derivada você teve a oportunidade de analisar 
a interpretação geométrica da derivada. Vamos agora retomar esse contexto 
apresentando a derivada como taxa de variação. Você terá a oportunidade de 
verificar que temos também a interpretação física da derivada.
De forma simples, podemos pensar em variação como mudança em relação ao 
tempo, mas você terá a oportunidade de vivenciar problemas em que outras 
variáveis são consideradas. Por exemplo, um economista pode querer estudar como 
o custo da produção de um produto varia de acordo com o número produzido.
Matematicamente, quando temos a taxa média de variação de y em 
relação x no intervalo é dada por sendo a 
variação de x e variação correspondente de y.
É possível conhecer a taxa de variação num ponto específico , neste caso, 
estamos diante de uma taxa de variação instantânea da função . 
Lembrando a definição de derivada podemos afirmar que essa taxa pode ser 
encontrada usando a expressão .
93
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Como x2 = x1 + Δx, podemos reescrever a expressão anterior como 
.
Observe que a palavra “instantânea” lembra tempo, daí o fato de 
associarmos taxa de variação como mudança em relação ao tempo.
Observe nos exemplos que seguem as diferentes aplicações da derivada quando 
esta se apresenta na forma de uma taxa de variação.
1.2 Velocidade e Aceleração
O exemplo clássico da Física relacionada com velocidade e aceleração é uma 
taxa de variação e podemos considerá-lo como a interpretação física de derivada.
Vamos considerar um corpo que se desloca ao longo de um eixo s e a sua 
posição em função do tempo t é modelada por uma função .
O deslocamento do objeto no intervalo de tempo é , 
e sua velocidade média nesse intervalo é dada por:
.
A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo dada 
por .
A taxa com que a velocidade de um corpo varia é a aceleração do corpo. 
Podemos dizer que a aceleração mede quanto o corpo ganha ou perde 
velocidade. Usando a ideia de taxa de variação é possível constatar que a 
aceleração é a taxa de variação da velocidade. 
A aceleração média no intervalo de tempo é .
A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo ou a 
derivada de segunda ordem da posição em relação ao tempo. Podemos escrever 
.
94
Capítulo 4 
Anote os conceitos com fórmulas:
(1) velocidade média: ;
(2) velocidade instantânea: ;
(3) aceleração média: ;
(4) aceleração instantânea: .
1.2.1 Exemplos
(1) No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição é 
modelada pela função . Determinar:
(a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [1,4];
(b) a velocidade do corpo no instante t = 2;
(c) a aceleração média no intervalo de tempo [0,3];
(d) a aceleração instantânea no instante t = 4.
Para resolver os itens solicitados vamos utilizar as expressões destacadas. Temos que:
(a) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [1,4] é dada por
(b) Para calcular a velocidade do corpo no instante t = 2 é necessário 
encontrar a derivada da função no ponto t = 2.
.
95
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
(c) A aceleração média no intervalo [0,3] é dada por
.
O sinal negativo nos mostra que a velocidade do corpo está 
diminuindo no intervalo de tempo dado.
(d) A aceleração instantânea no tempo t = 4 é a derivada da velocidade 
no ponto t = 4. Assim,
.
Você já deve ter ouvido falar no famoso matemático e astrônomo italiano 
Galileu Galilei (1564-1642). Ele é considerado o fundador da mecânica e 
da física moderna. Sem recursos para frequentar a Universidade de Pisa, 
foi autodidata em matemática, tornando-se professor na Universidade de 
Pisa e depois na Universidade de Pádua. Nessa última, desenvolveu as 
conclusões do movimento de queda livre sob a ação da gravidade e o 
movimento dos planetas. 
(2) Se Galileu tivesse deixado cair uma pedra do topo da torre de Pisa, 
54,5 metros acima do solo, sua altura t segundos depois de cair teria sido 
 em relação ao solo.
(a) Qual é a velocidade e a aceleração da pedra no instante t?
(b) Quanto tempo a pedra levaria, aproximadamente, para atingir o solo?
(c) Qual teria sido a velocidade da bala no momento do impacto?
Vamos usar as fórmulas já estabelecidas para resolver os itens propostos.
(a) A velocidade da pedra no instante t é . A aceleração é 
dada por (valor já esperado, pois é a aceleração da 
gravidade).
(b) Quando a pedra chega o solo temos s = 0 (ver Figura 4.1). 
96
Capítulo 4 
Assim para saber o tempo que a pedra levaria para atingir o solo vamos fazer 
Figura 4.1 – Gráfico da função 
1 2 3
10
20
30
40
50
60
x
y
A velocidade da pedra no momento do impacto é dada por
(3) Seja para a equação do movimento de uma 
partícula. Vamos considerar que s é medido em centímetros e t em segundos.
(a) Determinar a velocidade no instante t.
(b) Determinar a aceleração no instante t.
(c) Em que momento a velocidade se anula?
(d) Em que momento a aceleração se anula?
(e) Supondo que o movimento é na horizontal, tomando o instante t = 0 como 
referência, podemos dizer que a partícula está andando para frente? E para trás?
(f) Determinar a aceleração do corpo toda vez que a velocidade for nula.
Observe que neste problema estamos buscando uma análise sobre as 
características do movimento da partícula. Para facilitar a visualização dos 
resultados vamos fazer o gráfico da função na Figura 4.2.
97
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Figura 4.2 – Gráfico da função 
2 4
-4