Para determinar o volume do sólido limitado pelo parabolóide elíptico \(x^2 + 2y^2 + z = 16\), pelos planos \(x = 2\), \(y = 2\) e pelos três planos coordenados, siga os passos abaixo: 1. Reescreva a equação do parabolóide: \[ z = 16 - x^2 - 2y^2 \] 2. Determine os limites de integração: - O plano \(x = 2\) limita a região em \(x\) de \(0\) a \(2\). - O plano \(y = 2\) limita a região em \(y\) de \(0\) a \(2\). 3. Volume do sólido: O volume \(V\) pode ser calculado pela integral dupla: \[ V = \int_0^2 \int_0^2 (16 - x^2 - 2y^2) \, dy \, dx \] 4. Calcule a integral: - Primeiro, calcule a integral em relação a \(y\): \[ \int_0^2 (16 - x^2 - 2y^2) \, dy = \left[ 16y - x^2y - \frac{2y^3}{3} \right]_0^2 \] - Substituindo os limites: \[ = \left( 16(2) - x^2(2) - \frac{2(2)^3}{3} \right) - 0 = 32 - 2x^2 - \frac{16}{3} \] \[ = 32 - 2x^2 - \frac{16}{3} = \frac{96}{3} - \frac{6x^2}{3} - \frac{16}{3} = \frac{80 - 6x^2}{3} \] 5. Agora, integre em relação a \(x\): \[ V = \int_0^2 \frac{80 - 6x^2}{3} \, dx = \frac{1}{3} \left[ 80x - 2x^3 \right]_0^2 \] - Substituindo os limites: \[ = \frac{1}{3} \left( 80(2) - 2(2)^3 \right) = \frac{1}{3} \left( 160 - 16 \right) = \frac{144}{3} = 48 \] Portanto, o volume do sólido é \(V = 48\) unidades cúbicas.