20220409-AULA-07-CAL-III-Integral-dupla-e-Integral-iterada

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ
Integral Iterada
Prof. Alex Azevedo
8 de abril de 2022
1
1 SOMA DE RIEMANN E INTEGRAL ITERADA
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
2 EXEMPLO 1
Calcule o valor da integral iterada. ∫ 3
0
∫ 2
1
x2 yd yd x
Solução: ∫ 3
0
∫ 2
1
x2 yd yd x =
∫ 3
0
[∫ 2
1
x2 yd y
]
d x
=
∫ 3
0
[
x2
y2
2
]2
y=1
d x
=
∫ 3
0
[
x2
(
22
2
)
−x2
(
12
2
)]
d x
=
∫ 3
0
[
x2
(
4
2
)
−x2
(
1
2
)]
d x
=
∫ 3
0
[
3
2
x2
]
d x
= 3
2
(
x3
3
) ∣∣∣∣3
0
= x
3
2
∣∣∣∣3
0
= 3
3
2
= 27
2
3 EXEMPLO 2
Calcule o valor da integral iterada. ∫ 2
1
∫ 3
0
x2 yd xd y
32
Solução: ∫ 2
1
∫ 3
0
x2 yd xd y =
∫ 2
1
[∫ 3
0
x2 yd x
]
d y
=
∫ 2
1
[
x3
3
y
]3
x=0
d y
=
∫ 2
1
[
33
3
y − 0
3
3
y
]
d y
=
∫ 2
1
9yd y
= 9 y
2
2
∣∣∣∣2
1
= 9
(
22
2
− 1
2
2
)
= 9
(
3
2
)
= 27
2
4 EXERCÍCIO 1
Calcule o valor da integral iterada.∫ 3
1
∫ 4
2
(40−2x y)d yd x
Resposta: 112.
5 EXERCÍCIO 2
Calcule o valor da integral iterada.∫ 4
2
∫ 3
1
(40−2x y)d xd y (Resposta: 112)
33
6 EXEMPLO 3
Calcule a integral dupla Ï
R
(x −3y2)d A
onde R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ 2}.
Solução: Pelo Teorema de Fubini, temos
Ï
R
(x −3y2)d A =
∫ 2
0
∫ 2
1
(x −3y2)d y d x
=
∫ 2
0
[∫ 2
1
(x −3y2)d y
]
d x
=
∫ 2
0
[
x y −3
(
y3
3
)]2
y=1
d x
=
∫ 2
0
[
(2x −23)− (x −13)] d x
=
∫ 2
0
[(2x −8)− (x −1)] d x
=
∫ 2
0
[(2x −8−x +1)] d x
=
∫ 2
0
[(x −7)] d x
= x
2
2
−7x
∣∣∣∣2
0
= 2
2
2
−7(2) =−12
7 EXERCÍCIO 3
Calcule a integral dupla Ï
R
(x −3y2)d A
onde R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ 2}.
Solução: Pelo Teorema de Fubini, temos
34
Ï
R
(x −3y2)d A =
∫ 2
1
∫ 2
0
(x −3y2)d x d y
= ...
8 EXERCÍCIO 4
Calcule a integral dupla Ï
R
ysen(x y)d A
onde R = {(x, y)|1 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤π}.
9 EXERCÍCIO 5
Calcule a integral dupla Ï
R
sen x cos y d A
onde R = {(x, y)|0 ≤ x ≤π/2,0 ≤ y ≤π/2}.
Veja a solução no Exemplo 5, pág. 917, do livro texto.
10 EXEMPLO 4
Use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido que é limitado por cima pelo
plano z = 4−x − y e por baixo pelo retângulo R = [0,1]× [0,2]. (Veja figura.)
 4 
1
2
4
(1, 2)
35
Solução: O volume é a integral dupla de z = 4− x − y acima da região R = [0,1]× [0,2]. Isto
é:
volume V =
Ï
R
(4−x − y)d A
Usando o teorema de Fubini, esta integral dupla pode ser obtida calculando uma das duas
seguintes integrais iteradas:∫ 2
0
∫ 1
0
(4−x − y)d x d y ou
∫ 1
0
∫ 2
0
(4−x − y)d y d x
Usando a primeira destas integrais, obtemos:
V =
Ï
R
(4−x − y)d A =
∫ 2
0
∫ 1
0
(4−x − y)d x d y
=
∫ 2
0
[∫ 1
0
(4−x − y)d x
]
d y
=
∫ 2
0
[
4x − x
2
2
−x y
]1
x=0
d y
=
∫ 2
0
[
4(1)− (1)
2
2
− (1)y
]
d y
=
∫ 2
0
(4− 1
2
− y)d y
=
∫ 2
0
(
7
2
− y)d y
=
[
7
2
y − y
2
2
]2
0
= 7
2
(2)− (2)
2
2
= 7−2 = 5
11 EXERCÍCIO 6
Determine o volume do sólido que é limitado pelo parabolóide elíptico x2 +2y2 + z = 16,
pelos planos x = 2 e y = 2 e pelos três planos coordenados. (Veja figura.)
36
Solução: Veja a solução no Exemplo 4, pág. 916, do livro texto.
37
12 EXERCÍCIOS PARA CASA - DO 15 AO 24
38
	Soma de Riemann e Integral Iterada
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Exercício 1
	Exercício 2
	Exemplo 3
	EXERCÍCIO 3
	Exercício 4
	Exercício 5
	Exemplo 4
	Exercício 6
	EXERCÍCIOS PARA CASA - do 15 ao 24