A figura apresenta uma semicircunferência localizada no primeiro quadrante do plano cartesiano. Essa pode ser expressa em coordenadas polares como ...
A figura apresenta uma semicircunferência localizada no primeiro quadrante do plano cartesiano. Essa pode ser expressa em coordenadas polares como , com . Supondo uma lâmina com o formato da região acima, a medida da densidade de massa por unidade de área em qualquer ponto é proporcional à medida de sua distância até a origem, isto é, , onde é uma constante. Assinale a alternativa que corresponde à massa da lâmina descrita acima considerando e e sabendo que .
A região de integração é .
A massa corresponde à integral .
2π
3π
4π
5π
6π
A região de integração é .
A massa corresponde à integral .
2π
3π
4π
5π
6π
💡 1 Resposta
Ed 
A expressão polar da semicircunferência é , com . A região de integração é . A massa corresponde à integral . Substituindo os valores dados, temos: M = k ∫[0,π/2] r² sen(θ) dr dθ M = k ∫[0,π/2] (2cos(θ))² sen(θ) dθ M = 4k ∫[0,π/2] cos²(θ) sen(θ) dθ M = 4k ∫[0,π/2] (1-sen²(θ)) sen(θ) dθ M = 4k ∫[0,π/2] sen(θ) - sen³(θ) dθ M = 4k [ -cos(θ)/2 + cos³(θ)/6 ] [0,π/2] M = 4k [ (1/3) - (1/2) ] M = (2/3)k Portanto, a alternativa correta é a letra B) 3π.
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