mat1162_gab_p3_2018_1 (1)

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P3 de Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I
MAT1162 — 2018.1
Data: 21 de junho
Nome leg´ıvel: Matr´ıcula:
Assinatura: Turma:
Questa˜o Valor Nota Revisa˜o
1 4.5
2 3.5
Teste 2.0
Total 10.0
Instruc¸o˜es Gerais:
ˆ A durac¸a˜o da prova e´ de 1h50min.
ˆ A toleraˆncia de entrada e´ de 30 min apo´s o in´ıcio da prova. Se um aluno terminar a
prova em menos de 30min, devera´ aguardar em sala antes de entregar a prova e sair
de sala.
ˆ A prova deve ser resolvida apenas nas folhas recebidas e nos espac¸os reservados para
soluc¸o˜es. Na˜o e´ permitido destacar folhas da prova.
ˆ A prova e´ sem consulta a professores, fiscais ou a qualquer tipo de material. A
interpretac¸a˜o dos enunciados faz parte da prova.
ˆ O aluno so´ podera´ realizar a prova e assinar a lista de presenc¸a na sua turma/sala.
ˆ O aluno so´ podera´ manter junto a si: la´pis, borracha e caneta. Caso necessa´rio,
o fiscal podera´ solicitar ajuda a outro aluno e apenas o fiscal repassara´ o material
emprestado.
ˆ O celular devera´ ser desligado e guardado.
Instruc¸o˜es Espec´ıficas:
ˆ Todas as questo˜es devem ser justificadas de forma clara e rigorosa. Respostas sem
justificativas na˜o sera˜o consideradas.
ˆ A prova pode ser resolvida a la´pis, mas as respostas devem ser escritas a caneta de
tinta azul ou preta. Na˜o e´ permitido o uso de caneta de tinta vermelha ou verde.
ˆ Na˜o e´ permitido o uso de calculadora ou qualquer dispositivo eletroˆnico.
1. Seja D =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x > 0} e seja f : D → R definida por
f(x, y) =
x3
6
+
yx2
2
− y
3
6
+
xy2
2
+
y2
2
− 6x, (x, y) ∈ D.
.
(a) (1.0) Seja det
(
Hf (x, y)
)
o determinante da matriz hessiana de f em (x, y) ∈ D.
Obtenha func¸o˜es L1(x, y) e L2(x, y) tal que
det
(
Hf (x, y)
)
= L1(x, y) · L2(x, y), (x, y) ∈ D.
(b) (2.0) Classifique os pontos cr´ıticos de f em D.
(c) (1.5) Encontre func¸o˜es g1(x, y) e g2(x, y) tal que f restrita ao conjunto aberto
A =
{
(x, y) ∈ D ∣∣ g1(x, y) > 0, g2(x, y) > 0}
seja estritamente convexa. Desenhe A tracejando e explicite (x0, y0) ∈ A.
Soluc¸a˜o:
(a) As derivadas parciais de primeira ordem de f sa˜o:
fx(x, y) =
x2
2
+ yx +
y2
2
− 6
fy(x, y) =
x2
2
− y
2
2
+ xy + y
As derivadas parciais de segunda ordem de f sa˜o:
fxx(x, y) = x + y
fyy(x, y) = x− y + 1
fxy(x, y) = fyx(x, y) = x + y
Logo, Hf (x, y) =
[
fxx(x, y) fxy(x, y)
fxy(x, y) fyy(x, y)
]
=
[
x + y x + y
x + y x− y + 1
]
.
Da´ı, det
(
Hf (x, y)
)
= (x + y)(x− y + 1)− (x + y)2 = (x + y)(1− 2y). Desta
forma, L1(x, y) = x + y e L2(x, y) = 1− 2y, (x, y) ∈ D.
(b) Os pontos cr´ıticos de f satisfazem:

fx(x, y) = 0
fy(x, y) = 0
⇒

x2
2
+ yx +
y2
2
− 6 = 0
x2
2
− y
2
2
+ xy + y = 0
Subtraindo as equac¸o˜es tem-se: y2 − y − 6 = 0 ⇒ y = 3 ou y = −2.
Substituindo y = 3 na primeira equac¸a˜o tem-se:
x2+6x−3 = 0 ⇒ x = −3+2√3 > 0 ou x = −3−2√3 < 0 (na˜o pertence a D).
Substituindo y = −2 na primeira equac¸a˜o tem-se:
x2− 4x− 8 = 0 ⇒ x = 2 + 2√3 > 0 ou x = 2− 2√3 < 0 (na˜o pertence a D).
Desta forma os pontos cr´ıticos de f em D sa˜o:
P1 =
(
−3 + 2√3, 3
)
e P2 =
(
2 + 2
√
3,−2
)
.
Como det
(
Hf (P1)
)
= −10√3 < 0, enta˜o P1 e´ um ponto de sela. Como
det
(
Hf (P2)
)
= 10
√
3 > 0 e fxx(P2) = 2
√
3 > 0, enta˜o P2 e´ um ponto de
mı´nimo local de f em D.
(c) Para que f seja estritamente convexa Hf (x, y) deve ser estritamente positiva
definida, logo fxx(x, y) = x+ y > 0 e det
(
Hf (x, y)
)
= (x+ y)(1− 2y) > 0 ⇒
g1(x, y) = x + y > 0 e g2(x, y) = 1− 2y > 0.
Desta forma, A =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x + y > 0, 1− 2y > 0}.
Um esboc¸o do aberto A e´:
Ale´m disso, P2 =
(
2 + 2
√
3,−2
)
∈ A.
2. Seja
U =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ y ≥ 0, z ≥ 0, x + z ≤ 1, x ≥ y2} .
(a) (1.5) Obtenha func¸o˜es f(x, y), h1(y) e h2(y) e uma constante a tal que
U =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 0 ≤ z ≤ f(x, y), h1(y) ≤ x ≤ h2(y), 0 ≤ y ≤ a} .
Desenhe a projec¸a˜o R de U no plano xy e explicite no desenho as equac¸o˜es carte-
sianas das curvas que compo˜e a fronteira de R.
(b) (1.0) Considere a integral tripla
I =
∫ ∫ ∫
U
g(x, y, z) dxdydz.
Escreva I na forma de uma integral iterada, integrando primeiro com respeito a`
varia´vel z, em seguida com respeito a` x e finalmente integrando com respeito a` y.
(c) (1.0) Fazendo g(x, y, z) = 2yez, calcule
I =
∫ ∫ ∫
U
2yez dzdxdy.
Soluc¸a˜o:
(a)
U =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 0 ≤ z ≤ 1− x, y2 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} .
Logo, f(x, y) = 1− x, h1(y) = y2, h2(y) = 1 e a = 1.
Um esboc¸o para a projec¸a˜o R de U no plano xy e´:
(b)
I =
∫ 1
0
∫ 1
y2
∫ 1−x
0
g(x, y, z) dzdxdy.
(c)
I =
∫ 1
0
∫ 1
y2
∫ 1−x
0
2yez dzdxdy
=
∫ 1
0
∫ 1
y2
2yez |z=1−xz=0 dxdy
=
∫ 1
0
∫ 1
y2
2ye1−x − 2y dxdy
=
∫ 1
0
−2ye1−x − 2yx ∣∣x=1
x=y2
dy
=
∫ 1
0
−4y + 2ye1−y2 + 2y3 dy (∗)
= −2y2 − e1−y2 + y
4
2
∣∣∣∣∣
y=1
y=0
= e− 5
2
(∗) usando a mudanc¸a de varia´vel u = 1− y2 e du = −2ydy.