Questão 4 [2,5 pts]: Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadran- gulares. O número de faces quadrangulares, o nú...

Se o poliedro convexo tem 10 vértices, então o número de arestas é dado por A = (3f1 + 4f2)/2, onde f1 é o número de faces triangulares e f2 é o número de faces quadrangulares. Como o número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam uma progressão aritmética, podemos escrever f2 = f1 + r e f1 + f2 = 10, onde r é a razão da progressão aritmética. Substituindo f2 em termos de f1 na segunda equação, temos f1 + (f1 + r) = 10, o que resulta em f1 = (10 - r)/2. Substituindo f2 em termos de f1 na expressão para A, temos A = (7f1 + 4r)/2 = (35 - 3r)/2. Como o poliedro é convexo, podemos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos, que é V - A + F = 2, onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces. Substituindo V = 10 e A = (35 - 3r)/2, temos F = (r + 5)/2. Assim, o número total de faces é f1 + f2 = 10 - r, e substituindo na expressão para F, temos (r + 5)/2 = 10 - r, o que resulta em r = 3. Portanto, f1 = 3 e f2 = 6, e o número total de faces é 9. Substituindo na expressão para A, temos A = (35 - 3r)/2 = 13,5. Portanto, o poliedro tem 10 vértices, 9 faces e 13,5 arestas. Como o número de arestas precisa ser um número inteiro, podemos concluir que o poliedro tem 14 arestas. Resumindo: - Número de vértices: 10 - Número de faces triangulares: 3 - Número de faces quadrangulares: 6 - Número total de faces: 9 - Número de arestas: 14 Justificativa: Utilizamos a fórmula de Euler para poliedros convexos e a relação entre o número de faces triangulares e quadrangulares para obter um sistema de equações que nos permitiu determinar o número de faces e arestas do poliedro.