05. (ITA) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces tri...

Seja n o número de faces triangulares e m o número de faces quadrangulares. Como o poliedro tem 10 vértices, temos que o número de arestas é igual a (5n + 4m)/2, pelo Teorema de Euler. Como o número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam uma progressão aritmética, temos que: m + n = 2a 2a = m + n + 1 3a = m + n + 2 onde a é o número de faces do poliedro. Substituindo a primeira equação nas outras duas, temos: 3(m + n)/2 = m + n + 3 m + n = 6 Substituindo m + n = 6 na primeira equação, temos: 2a = 6 a = 3 Substituindo a = 3 na terceira equação, temos: 3.3 = m + n + 2 m + n = 7 Substituindo m + n = 7 na equação (5n + 4m)/2, temos: (5n + 4m)/2 = 7 5n + 4m = 14 Como m + n = 6, temos que m = 6 - n. Substituindo na equação acima, temos: 5n + 4(6 - n) = 14 n = 2 Logo, m = 4. Portanto, o número de arestas é: (5n + 4m)/2 = (5.2 + 4.4)/2 = 14 Resposta: letra d) 22.