A cônica dada pela equação x2 + 4y2 - 6y + 40y +93 = 0 tem centro c= ( h, k) e vértices do eixo maior A1 = (m , n ) e A2 = (p , q). Então, o va...

Primeiramente, vamos completar a equação da cônica para que ela fique na forma padrão: x² + 4y² - 6y + 40y + 93 = 0 x² + 4y² + 34y + 93 = 0 x² + 4(y² + 8.5y + 36.5625) = -93 + 4*36.5625 x² + 4(y + 4.25)² = 23 A partir daí, podemos identificar que a cônica é uma elipse, pois o coeficiente de x² é igual ao coeficiente de y² e ambos são positivos. Além disso, o centro da elipse é dado por (h, k) = (0, -4.25). Os vértices do eixo maior são A1 = (m, n) e A2 = (p, q). Sabemos que a distância entre os vértices do eixo maior é igual ao comprimento do eixo maior, que é dado por 2a, onde a é o semieixo maior da elipse. Portanto: A1A2 = 2a √[(m-p)² + (n-q)²] = 2a Também sabemos que o valor de b, o semieixo menor da elipse, é dado por: b² = a² - c² b² = 23 - 4² b² = 7 Assim, podemos encontrar o valor de a: a² = c² + b² a² = 4² + 7 a² = 23 a = √23 Substituindo na equação da distância entre os vértices do eixo maior, temos: √[(m-p)² + (n-q)²] = 2√23 Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: (m-p)² + (n-q)² = 4*23 m² - 2mp + p² + n² - 2nq + q² = 92 Sabemos que os pontos A1 e A2 estão sobre o eixo maior da elipse, que é paralelo ao eixo x. Portanto, eles têm a mesma coordenada y, que é igual a k = -4.25. Substituindo na equação acima, temos: m² - 2mp + p² + (n+4.25)² + q² - 2q(n+4.25) = 92 + 4.25² Agora, vamos usar o fato de que os pontos A1 e A2 estão sobre o eixo maior da elipse para encontrar a relação entre m, n, p e q. Sabemos que o eixo maior é paralelo ao eixo x, então os pontos A1 e A2 têm a mesma coordenada y. Portanto: n = q Substituindo na equação acima, temos: m² - 2mp + p² + (n+4.25)² + n² - 2n² + 4.25² = 92 + 4.25² m² - 2mp + p² + 2n² + 2*4.25n = 92 Agora, vamos usar o fato de que o centro da elipse está na origem (0, 0) para encontrar a relação entre h e k. Sabemos que a distância entre o centro da elipse e cada vértice do eixo maior é igual a a. Portanto: √[(m-0)² + (n+4.25)²] = √23 m² + (n+4.25)² = 23 Substituindo n por q, temos: m² + (q+4.25)² = 23 Agora, vamos usar o fato de que os pontos A1 e A2 estão sobre o eixo maior da elipse para encontrar a relação entre m, n, p e q. Sabemos que o eixo maior é paralelo ao eixo x, então os pontos A1 e A2 têm a mesma coordenada y. Portanto: n = q Substituindo na equação acima, temos: m² + (q+4.25)² = 23 p² + (q+4.25)² = 23 Somando as duas equações, temos: m² + p² + 2(q+4.25)² = 46 m² + p² + 2q² + 2*4.25q + 2*4.25² = 46 m² + p² + 2q² + 36 = 46 m² + p² + 2q² = 10 Agora, podemos somar todas as equações que encontramos para obter o valor de /m + n + p + q + h + k/: m² - 2mp + p² + 2n² + 2*4.25n = 92 m² + p² + 2q² = 10 m² + (q+4.25)² = 23 p² + (q+4.25)² = 23 Somando as quatro equações, temos: 2m² + 2p² + 4q² + 2*4.25² + 2*23 = 150 2(m² + p² + q²) + 2*23 = 150 2(m² + p² + q²) = 104 m² + p² + q² = 52 Agora, podemos substituir n por q e simplificar a expressão: /m + n + p + q + h + k/ = /m + p + 2q - 4.25/ /m + n + p + q + h + k/ = /m² + p² + q² + 2mp + 2mq - 8.5q - 4.25²/ /m + n + p + q + h + k/ = /52 + 2mp + 2mq - 8.5q - 18.0625/ /m + n + p + q + h + k/ = /2mp + 2mq - 8.5q + 33.9375/ Portanto, o valor de /m + n + p + q + h + k/ é igual a /2mp + 2mq - 8.5q + 33.9375/.