Seja f(x, y) = x2 − y2 / (x2 + y2). Mostre que não existe o limite desta função quando (x, y) tende à origem.

Para mostrar que não existe o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende à origem, podemos utilizar o critério de Cauchy. Para isso, vamos considerar duas sequências distintas que tendem à origem: - A sequência (x_n, y_n) = (1/n, 1/n), onde n é um número natural. - A sequência (x_n, y_n) = (1/n, -1/n), onde n é um número natural. Agora, vamos calcular o limite da função f(x,y) para cada uma dessas sequências: - Para a sequência (x_n, y_n) = (1/n, 1/n): lim f(x_n, y_n) = lim f(1/n, 1/n) = lim [(1/n)^2 - (1/n)^2] / [(1/n)^2 + (1/n)^2] = lim 0 / (2/n^2) = 0 - Para a sequência (x_n, y_n) = (1/n, -1/n): lim f(x_n, y_n) = lim f(1/n, -1/n) = lim [(1/n)^2 - (-1/n)^2] / [(1/n)^2 + (-1/n)^2] = lim (2/n^2) / (2/n^2) = 1 Como os limites são diferentes para as duas sequências, concluímos que o limite da função f(x,y) não existe quando (x,y) tende à origem.