(Fuvest) O valor de (tg 10°+cotg 10°)sen 20° é: a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 5/2 e) 4

Para resolver essa questão, vamos utilizar algumas identidades trigonométricas. 1) tg(x) = sen(x)/cos(x) 2) cotg(x) = cos(x)/sen(x) Substituindo na expressão dada, temos: (tg 10° + cotg 10°)sen 20° = [(sen 10°/cos 10°) + (cos 10°/sen 10°)]sen 20° Multiplicando ambos os lados por cos 10°.sen 20°.sen 10°, temos: (sen 10°.sen 20° + cos 10°.cos 20°) + (cos 10°.sen 10°.sen 20°/sen 10°) Utilizando a identidade trigonométrica cos(x-y) = cos(x).cos(y) + sen(x).sen(y), podemos reescrever a primeira parcela como: cos(20°-10°) = cos 10°.cos 20° + sen 10°.sen 20° Substituindo na expressão, temos: cos(20°-10°) + (cos 10°.sen 20°) = (cos 10°.cos 20° + sen 10°.sen 20°) + (cos 10°.sen 20°/sen 10°) cos(20°-10°) = cos 10°.cos 20° + sen 10°.sen 20° - (cos 10°.sen 20°/sen 10°) cos(20°-10°) = cos 10°.cos 20° + sen 10°.sen 20° - (cos 10°.cos 70°) cos(20°-10°) = cos 10°.cos 20° + sen 10°.sen 20° - (sen 20°.sen 20°) cos(20°-10°) = cos 10°.cos 20° - sen² 20° cos(20°-10°) = cos 10°.cos 20° - (1-cos² 20°) cos(20°-10°) = cos 10°.cos 20° - 1 + cos² 20° cos(20°-10°) = cos² 20° + cos 10°.cos 20° - 1 cos(20°-10°) = (cos 20° + cos 10°).(cos 20° - 1) cos(20°-10°) = -2.sen² 10° Substituindo na expressão inicial, temos: (tg 10° + cotg 10°)sen 20° = -2.sen² 10° + (cos 10°.sen 20°/sen 10°) (tg 10° + cotg 10°)sen 20° = -2.sen² 10° + cos 10°.cos 70° (tg 10° + cotg 10°)sen 20° = -2.sen² 10° + (1-2.sen² 10°) (tg 10° + cotg 10°)sen 20° = 1 - 4.sen² 10° (tg 10° + cotg 10°)sen 20° = 1 - 4.(sen 10°/cos 10°)² (tg 10° + cotg 10°)sen 20° = 1 - 4.(sen² 10°/cos² 10°) (tg 10° + cotg 10°)sen 20° = 1 - 4.(1/cos² 10° - 1) (tg 10° + cotg 10°)sen 20° = 1 - 4.(1 + tg² 10°) (tg 10° + cotg 10°)sen 20° = 1 - 4 - 4tg² 10° (tg 10° + cotg 10°)sen 20° = -3 - 4tg² 10° Portanto, a alternativa correta é a letra E) 4.