Responda à 4 questões 1. Sejam X1, . . .X20 v.a.’s IID (Independentes e idênticamente distribuídas) com distribuição Exp1/4 ou seja, com média 4....

1. (a) Utilizando a distribuição Exponencial, temos que a média é 4 e o desvio padrão é 4. Portanto, podemos usar a distribuição normal para encontrar o valor de b. Temos que P(S > b) = 0,05, então P(Z > (b - 80)/4) = 0,05, onde Z é uma variável aleatória normal padrão. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que P(Z > 1,645) = 0,05. Então, (b - 80)/4 = 1,645, o que nos dá b = 86,58. (b) Utilizando o Teorema Central do Limite (TCL), podemos aproximar a distribuição de S pela distribuição normal com média 80 e desvio padrão 4. Então, P(S > b) = P(Z > (b - 80)/4) = 0,05, onde Z é uma variável aleatória normal padrão. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que P(Z > 1,645) = 0,05. Então, (b - 80)/4 = 1,645, o que nos dá b = 86,58. 2. (a) Para calcular E[X], devemos integrar a densidade de probabilidade de X em relação a x, de 0 a y. Temos que f(x,y) = 3x, então: E[X] = ∫∫x*f(x,y) dxdy = ∫∫3x^2 dxdy, onde a integral é de 0 a 1 para y e de 0 a y para x. Resolvendo a integral, temos: E[X] = ∫0^1 ∫0^y 3x^2 dxdy = ∫0^1 y^3 dy = 1/4. (b) Para calcular E[Y|x], devemos integrar a densidade de probabilidade de Y em relação a y, de -x a x. Temos que f(x,y) = 3x, então: E[Y|x] = ∫y*f(x,y) dy = ∫3xy dy, onde a integral é de -x a x para y. Resolvendo a integral, temos: E[Y|x] = ∫-x^1 3xy dy = 0. 3. Para calcular V[X+Y], devemos primeiro calcular E[X+Y] e E[(X+Y)^2]. Temos que f(x,y) = 6x, então: E[X+Y] = ∫∫(x+y)*f(x,y) dxdy = ∫∫6x(x+y) dxdy, onde a integral é de 0 a 1 para y e de 0 a y para x. Resolvendo a integral, temos: E[X+Y] = ∫0^1 ∫0^y 6x(x+y) dxdy = ∫0^1 3y^3 dy = 3/4. E[(X+Y)^2] = ∫∫(x+y)^2*f(x,y) dxdy = ∫∫6x(x+y)^2 dxdy, onde a integral é de 0 a 1 para y e de 0 a y para x. Resolvendo a integral, temos: E[(X+Y)^2] = ∫0^1 ∫0^y 6x(x+y)^2 dxdy = ∫0^1 3y^4 + 6y^3 dy = 9/10. Então, V[X+Y] = E[(X+Y)^2] - (E[X+Y])^2 = 9/10 - (3/4)^2 = 3/40. 4. Para calcular a probabilidade do investidor obter lucro positivo em uma semana com ação ordinária, devemos considerar os três cenários possíveis: subida de 1 ponto, queda de 2 pontos ou estacionário. A probabilidade de subida é de 60%, então a probabilidade de queda é de 30% e a probabilidade de estacionário é de 10%. Então, a probabilidade de lucro positivo é de: P(lucro positivo) = P(subida) + P(estacionário) - P(queda) = 0,6 + 0,1 - 0,3 = 0,4. 5. (a) Para calcular a probabilidade P(X ≥ 12) usando a aproximação Poisson, devemos usar a média da distribuição binomial, que é n*p = 30*(1/3) = 10. Então, a distribuição Poisson com média 10 pode ser usada para aproximar a distribuição binomial. Então, P(X ≥ 12) = 1 - P(X < 12) ≈ 1 - P(Y ≤ 11), onde Y é uma variável aleatória Poisson com média 10. Usando a tabela da distribuição Poisson, encontramos que P(Y ≤ 11) = 0,3329. Então, P(X ≥ 12) ≈ 1 - 0,3329 = 0,6671. (b) Para calcular a probabilidade P(X ≥ 12) usando a aproximação Normal com correção por continuidade, devemos usar a média e o desvio padrão da distribuição binomial, que são n*p = 30*(1/3) = 10 e √(n*p*(1-p)) = √(30*(1/3)*(2/3)) ≈ 1,83, respectivamente. Então, a distribuição Normal com média 10 e desvio padrão 1,83 pode ser usada para aproximar a distribuição binomial. Então, P(X ≥ 12) = P(Z ≥ (11,5 - 10)/1,83), onde Z é uma variável aleatória normal padrão. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que P(Z ≥ 0,82) = 0,2050. Então, P(X ≥ 12) ≈ 0,2050.