Determine a transformada de Laplace da função g(t) = t2 cos t, sabendo que ℒ [ cos t] = s s 2 + 1

Para determinar a transformada de Laplace da função \( g(t) = t^2 \cos(t) \), podemos usar a propriedade da transformada de Laplace que envolve a derivada. A transformada de Laplace de \( t^n f(t) \) é dada por: \[ \mathcal{L}\{t^n f(t)\} = (-1)^n \frac{d^n}{ds^n} \mathcal{L}\{f(t)\} \] Neste caso, temos \( n = 2 \) e \( f(t) = \cos(t) \). Sabemos que: \[ \mathcal{L}\{\cos(t)\} = \frac{s}{s^2 + 1} \] Agora, aplicamos a fórmula: \[ \mathcal{L}\{t^2 \cos(t)\} = (-1)^2 \frac{d^2}{ds^2} \left( \frac{s}{s^2 + 1} \right) \] Vamos calcular a primeira derivada: 1. Primeira derivada: \[ \frac{d}{ds} \left( \frac{s}{s^2 + 1} \right) = \frac{(s^2 + 1)(1) - s(2s)}{(s^2 + 1)^2} = \frac{s^2 + 1 - 2s^2}{(s^2 + 1)^2} = \frac{1 - s^2}{(s^2 + 1)^2} \] 2. Segunda derivada: Agora, derivamos novamente: \[ \frac{d}{ds} \left( \frac{1 - s^2}{(s^2 + 1)^2} \right) = \frac{(s^2 + 1)^2(-2s) - (1 - s^2)(2(s^2 + 1)(2s))}{(s^2 + 1)^4} \] Simplificando isso, obtemos: \[ = \frac{-2s(s^2 + 1)^2 - 4s(1 - s^2)(s^2 + 1)}{(s^2 + 1)^4} \] Agora, simplificando a expressão, você terá a transformada de Laplace de \( g(t) = t^2 \cos(t) \). Portanto, a transformada de Laplace de \( g(t) = t^2 \cos(t) \) é: \[ \mathcal{L}\{t^2 \cos(t)\} = \frac{-2s(s^2 + 1) - 4s(1 - s^2)}{(s^2 + 1)^3} \] Essa é a resposta final.

Para determinar a transformada de Laplace da função g(t) = t^2 cos(t), podemos utilizar a propriedade de transformação de Laplace da multiplicação por uma função do tempo. Assim, temos: ℒ [t^2 cos(t)] = (-1) * [d^2/ds^2 ℒ[cos(t)]](s-0) A transformada de Laplace de cos(t) é ℒ[cos(t)] = s/(s^2+1), conforme indicado na questão. Então, temos: d/ds [s/(s^2+1)] = (s^2+1 - 2s^2)/(s^2+1)^2 = (1-s^2)/(s^2+1)^2 d^2/ds^2 [s/(s^2+1)] = d/ds [(1-s^2)/(s^2+1)^2] = (-4s)/(s^2+1)^3 Substituindo na fórmula acima, temos: ℒ [t^2 cos(t)] = (-1) * [d^2/ds^2 ℒ[cos(t)]](s-0) ℒ [t^2 cos(t)] = (-1) * [(-4s)/(s^2+1)^3](s-0) ℒ [t^2 cos(t)] = 4s/(s^2+1)^3 Portanto, a transformada de Laplace da função g(t) = t^2 cos(t) é 4s/(s^2+1)^3.