Calcule a soma da série finita 1 + 2 + 1/3 + 2/5 + 1/9 + 2/25 + ... + (1/3)n + 2(1/5)n+ ... 6 7 4 5 8

Para calcular a soma da série finita, podemos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica: S = a(1 - q^n) / (1 - q) Onde: - S é a soma dos termos da série; - a é o primeiro termo da série; - q é a razão da série; - n é o número de termos da série. Nesse caso, temos que o primeiro termo é 1, a razão é 2/3 e o número de termos é infinito. No entanto, podemos calcular a soma dos primeiros n termos da série e depois tomar o limite quando n tende ao infinito. Assim, a soma dos primeiros n termos da série é: Sn = 1 + 2 + 1/3 + 2/5 + ... + (1/3)^n + 2(1/5)^n Podemos reescrever essa soma como: Sn = (1 + 1/3 + ... + (1/3)^n) + 2(1/5 + ... + (1/5)^n) Agora, podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica para cada uma das séries: (1 + 1/3 + ... + (1/3)^n) = (1 - (1/3)^(n+1)) / (1 - 1/3) = (3/2) - (1/2)(1/3)^(n+1) (1/5 + ... + (1/5)^n) = (1 - (1/5)^(n+1)) / (1 - 1/5) = (5/4) - (1/4)(1/5)^(n+1) Substituindo esses valores na expressão para Sn, temos: Sn = (3/2) - (1/2)(1/3)^(n+1) + 2[(5/4) - (1/4)(1/5)^(n+1)] Simplificando, temos: Sn = (15/8) - (1/2)(1/3)^(n+1) - (1/10)(1/5)^(n+1) Tomando o limite quando n tende ao infinito, temos: S = lim(n->inf) Sn = 15/8 Portanto, a soma da série finita é 15/8. A alternativa correta é a letra A) 6.