Um triângulo ABC tem altura BH e mediana AM relativas ao lado BC. O ponto P é escolhido na reta BH de modo que AP é perpendicular a BC. O ponto ...

Para resolver esse problema, podemos usar o Teorema de Pitágoras e algumas propriedades dos triângulos. Primeiro, observe que o triângulo ABC é retângulo em B, pois BH é a altura relativa ao lado BC. Portanto, temos: AB² = AH² + BH² Substituindo AB por 8 e simplificando, temos: 64 = AH² + BH² Agora, observe que o triângulo AMP é semelhante ao triângulo ABC, pois AM é a mediana relativa ao lado BC e divide o lado BC em duas partes iguais. Portanto, temos: AP/AB = AM/AC Substituindo AP por x, AB por 8 e AC por 6, temos: x/8 = 4/6 Simplificando, temos: x = 32/6 = 16/3 Agora, observe que o triângulo APB é retângulo em P, pois AP é perpendicular a BC. Portanto, temos: PB² = AB² - AP² Substituindo PB por BH/2 (pois M é o ponto médio de BC), AB por 8 e AP por 16/3, temos: (BH/2)² = 8² - (16/3)² Simplificando, temos: BH²/4 = 64 - 256/9 BH²/4 = 576/9 - 256/9 BH²/4 = 320/9 BH² = 1280/9 Agora, podemos usar novamente o Teorema de Pitágoras para encontrar BH: BH² = AH² + 64 AH² + 1280/9 = 64 AH² = 1280/9 - 576/9 AH² = 704/9 Portanto, temos: BH² = 1280/9 AH² = 704/9 Agora, podemos usar o Teorema de Pitágoras no triângulo APH para encontrar AP: AP² = AH² + PH² Substituindo AH² por 704/9 e PH por BH/2, temos: AP² = 704/9 + (BH/2)² AP² = 704/9 + 1280/36 AP² = 2816/36 + 1280/36 AP² = 4096/36 AP² = 64/9 Portanto, temos: AP = √(64/9) = 8/3 Assim, a alternativa correta é a letra a) 2√3.