Uma elipse tem os focos ????1=(0,−2) e ????2=(0,2) e excentricidade ????=0,5. Sabendo que a área ???? da superfície elíptica é dada pela fórmula ????=????????????,...

A área da superfície elíptica é dada por ????=2????2????, onde ????1 e ????2 são os semieixos da elipse. Sabemos que a excentricidade da elipse é ????=0,5 e que os focos são ????1=(0,−2) e ????2=(0,2). Como os focos estão localizados no eixo y, podemos concluir que o eixo maior da elipse é vertical. A excentricidade é dada por ????=√(1−(????2/????1)2), onde ????1 é o semieixo maior e ????2 é o semieixo menor. Substituindo os valores, temos: 0,5 = √(1 - (????2/????1)²) 0,25 = 1 - (????2/????1)² (????2/????1)² = 0,75 (????2/????1) = √0,75 (????2/????1) = 0,866 Sabemos que os focos estão a uma distância de 4 unidades um do outro, então: 2a = 4 a = 2 Também sabemos que a excentricidade é dada por: ????=√(1−(????2/????1)2) ????=√(1−(0,866)2) ????=0,5 A partir daí, podemos encontrar o valor de b: b = a√(1 - ????²) b = 2√(1 - 0,5²) b = 2√0,75 b = 1,732 A área da superfície elíptica é dada por: ????=2????2???? ????=2 x π x 2 x 1,732 ????=21,816 Portanto, a alternativa correta é a letra c).