Quanto ao gráfico da função f: R → R definida por f(x) = x3 + x2 – 6x, analise as opções: I. Possui dois pontos críticos. II. Tem máximo em x =...

As opções corretas são: I. Possui dois pontos críticos. III. Em x = -2, a concavidade é voltada para baixo. Explicação: I. Para encontrar os pontos críticos, precisamos encontrar as raízes da primeira derivada da função. Derivando f(x), temos: f'(x) = 3x² + 2x - 6. Igualando a derivada a zero, temos: 3x² + 2x - 6 = 0. Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos duas raízes: x = -2 e x = 1. Portanto, a opção I está correta. II. Para encontrar o máximo da função, precisamos encontrar as raízes da segunda derivada da função. Derivando f'(x), temos: f''(x) = 6x + 2. Igualando a derivada a zero, temos: 6x + 2 = 0. Resolvendo a equação, encontramos x = -1/3. Como a segunda derivada é positiva para todo x, temos que x = -1/3 é um ponto de mínimo da função, e não de máximo. Portanto, a opção II está incorreta. III. Para analisar a concavidade da função, precisamos analisar o sinal da segunda derivada. Como f''(x) = 6x + 2 é positiva para x < -2 e negativa para x > -2, temos que a concavidade é voltada para baixo em x = -2. Portanto, a opção III está correta. IV. Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos encontrar as raízes da segunda derivada da função. Como já encontramos que f''(x) = 6x + 2, basta igualarmos a segunda derivada a zero e resolvermos a equação: 6x + 2 = 0. Encontramos x = -1/3, que é um ponto de mínimo da função, e não de inflexão. Portanto, a opção IV está incorreta.