Nos problemas seguintes, determine se a equação é exata. Se for, então, solucione-a:
9. (2 x + y)dx + (x − 2 y )dy = 0
10. (cos x cos y + 2 x)dx − ...

Question

Nos problemas seguintes, determine se a equação é exata. Se for, então, solucione-a:
9. (2 x + y)dx + (x − 2 y )dy = 0
10. (cos x cos y + 2 x)dx − (sen x sen y + 2 y )dy = 0
11. (t / y)dy + (1 + ln y )dt = 0
12. cosθ dr − (r senθ −eθ)dθ = 0
13. (1/ y)dx − (3 y − x / y2)dy = 0
14. (2 x + y1 + x2 y2 )dx + ( x1 + x2 y2 − 2 y )dy = 0

a) Apenas a equação 9 é exata e sua solução é x2 + xy − y2 = C.
b) Apenas a equação 10 é exata e sua solução é sen x cos y + x2 − y2 = C.
c) Apenas a equação 11 é exata e sua solução é t ln y + t = C.
d) Apenas a equação 12 é exata e sua solução é r = (C − eθ)secθ.
e) Apenas a equação 13 é exata e sua solução é y = x2/(C − x).
f) As equações 9, 10, 11, 12 e 13 são exatas e suas soluções são, respectivamente, x2 + xy − y2 = C, sen x cos y + x2 − y2 = C, t ln y + t = C, r = (C − eθ)secθ e y = x2/(C − x).
g) Nenhuma das equações é exata.

Ed · Answer

Para determinar se uma equação é exata, é necessário verificar se a condição de equação exata é satisfeita, ou seja, se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x, onde M e N são as funções que multiplicam dx e dy, respectivamente.

9. (2x + y)dx + (x - 2y)dy = 0
M = 2x + y
N = x - 2y
∂M/∂y = 1
∂N/∂x = 1
Como ∂M/∂y = ∂N/∂x, a equação é exata.
Para encontrar a solução, integramos M em relação a x e N em relação a y:
∫(2x + y)dx = x^2 + xy + C1(y)
∫(x - 2y)dy = xy - y^2 + C2(x)
Igualando as duas expressões, obtemos:
x^2 + xy + C1(y) = xy - y^2 + C2(x)
Derivando em relação a x, temos:
∂/∂x(x^2 + xy + C1(y)) = ∂/∂x(xy - y^2 + C2(x))
2x + y = ∂C2(x)/∂x
Derivando em relação a y, temos:
∂/∂y(x^2 + xy + C1(y)) = ∂/∂y(xy - y^2 + C2(x))
x + ∂C1(y)/∂y = -2y
A partir dessas duas equações, podemos encontrar C1(y) e C2(x) e, portanto, a solução geral da equação.

Resposta: a) Apenas a equação 9 é exata e sua solução é x^2 + xy - y^2 = C.

Nos problemas seguintes, determine se a equação é exata. Se for, então, solucione-a: 9. (2 x + y)dx + (x − 2 y )dy = 0 10. (cos x cos y + 2 x)dx − ...

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