EQDM7_Lista4

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Lic. Matemática – Equações Diferenciais – Lista 4 – EDOs de 1a ordem exatas– pg 1/1
Nos problemas seguintes, classifique a equação como separável, linear, exata ou nenhuma destas.
Observe que algumas equações podem ter mais de uma classificação:
1. (x10/3− 2 y)dx + x dy = 0
2. (x2 y + x4 cos x )dx − x3 dy = 0
3. √−2 y − y2 dx + (3 + 2 x − x2)dy = 0
4. ( yexy+ 2 x)dx + (xexy− 2 y )dy = 0
5. xy dx + dy = 0
6. y2 dx + (2 xy + cos y)dy = 0
7. [2 x + y cos( xy)]dx + [x cos( xy) − 2 y ]dy = 0
8. θdr + (3 r − θ − 1)d θ = 0
Nos problemas seguintes, determine se a equação é exata. Se for, então, solucione-a:
9. (2 x + y)dx + (x − 2 y )dy = 0
10. (cos x cos y + 2 x)dx − (sen x sen y + 2 y )dy = 0
11. (t / y)dy + (1 + ln y )dt = 0
12. cosθ dr − (r senθ −eθ)dθ = 0
13. (1/ y)dx − (3 y − x / y2)dy = 0
14. (2 x + y1 + x2 y2 )dx + ( x1 + x2 y2 − 2 y )dy = 0
Nos problemas seguintes, resolva o problema de valor inicial.
15. (1/ x + 2 y2 x)dx + (2 yx2 − cos y )dy = 0 , y (1)= π
16. (e t y + tet y )dt + (tet + 2)dy = 0 , y (0)=−1
17. ( y2 sen x)dx + (1/ x − y / x )dy = 0 , y (π) = 1
18. Para cada uma das seguintes equações, encontre a função mais geral M(x,y) de modo que a
equação seja exta.
(a) M (x , y )dx + (sec2 − x / y )dy = 0
(b) M (x , y )dx + (sen x cos y − xy − e− y )dy = 0
19. Considere a equação M (x , y )dx + (sec2 − x / y )dy = 0 .
(a) Mostre que essa equação não é exata.
(b) Mostre que multiplicar os dois lados da equação por y-2 gera uma nova equação que é exata.
(c) Use a solução da equação exata resultante para solucionar a equação original.
(d) Algumas soluções foram perdidas no processo?
Respostas:
1. Linear
2. Linear
3. Separável
4. Exata
5. Separável e linear com x(y)
6. Exata e linear com x(y)
7. Exata
8. Linear
9. x2 + xy −ỳ 2 = C
10. sen x cos y + x2 − y2 = C
11. t ln y + t = C
12. r = (C − eθ)secθ
13. Não exata 
14. x2 − y 2 + arctg (xy ) = C
15. ln x + x2 y2 − sen y = π2
16. y =−2 /(tet + 2)
17. sen x − x cos x = ln y + 1/ y + π − 1 (a equação é separável, não exata)
18. (a) −ln|y|+ f (x) ;(b) cos x sen y − y2/2 + f (x) , onde f é uma função apenas de x
19. (c) y = x 2/(C − x) ; (d) Sim, y = 0.