Na diagonalização ortogonal da matriz simétrica 8 4 -16 4 2 -8 -16 -8 14 calcule a soma S dos elementos da matriz diagonal D. Escolha uma opção: ...

Para calcular a diagonalização ortogonal de uma matriz simétrica, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz. Os autovalores da matriz são as raízes do polinômio característico, que é dado por: det(A - λI) = 0 onde A é a matriz dada, I é a matriz identidade e λ é o autovalor. Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores λ1 = 18, λ2 = 2 e λ3 = 4. Em seguida, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos o sistema de equações: (A - λI)v = 0 onde v é o autovetor correspondente ao autovalor λ. Resolvendo esse sistema, encontramos os autovetores: v1 = (1, 0, -2) v2 = (0, 2, 1) v3 = (-2, 1, 0) A matriz de transformação ortogonal P é formada pelos autovetores normalizados: P = [v1/|v1| v2/|v2| v3/|v3|] onde |v| é o módulo do vetor v. Calculando os autovetores normalizados, temos: P = [1/√6 0 -2/√6; 0 2/√5 1/√5; -2/√30 1/√30 1/√30] A matriz diagonal D é formada pelos autovalores na diagonal: D = [λ1 0 0; 0 λ2 0; 0 0 λ3] = [18 0 0; 0 2 0; 0 0 4] A soma dos elementos da matriz diagonal D é S = λ1 + λ2 + λ3 = 18 + 2 + 4 = 24. Portanto, a alternativa correta é a letra c) S = 24.