Na diagonalização ortogonal da matriz simétrica 0,20 de 8 4 -16 4 2 -8 rcar L - -16 -8 14 calcule a soma S dos elementos da matriz diagonal D. a....

Para resolver esse problema, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar os autovalores da matriz simétrica A. 2. Encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. 3. Montar a matriz P com os autovetores normalizados. 4. Calcular a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal. 5. Verificar se a matriz P é ortogonal. 6. Calcular a matriz P^T. 7. Verificar se P^T * A * P = D. Seguindo esses passos, encontramos que os autovalores de A são 0, 20 e 4. Os autovetores correspondentes são, respectivamente: (1, 0, -2) (0, 1, 0) (1, 0, 2) Normalizando esses autovetores, obtemos: (1/√6, 0, -√2/√3) (0, 1, 0) (1/√6, 0, √2/√3) Montando a matriz P com esses autovetores, temos: P = (1/√6, 0, 1/√6; 0, 1, 0; -√2/√3, 0, √2/√3) A matriz diagonal D é: D = (0, 0, 0; 0, 20, 0; 0, 0, 4) Para verificar se a matriz P é ortogonal, basta calcular P^T * P e verificar se o resultado é a matriz identidade. Temos: P^T * P = (1/6, 0, -√2/6; 0, 1, 0; -√2/6, 0, 2/6) * (1/6, 0, 1/6; 0, 1, 0; -√2/6, 0, √2/6) = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1) Como o resultado é a matriz identidade, concluímos que P é ortogonal. Calculando P^T * A * P, obtemos: P^T * A * P = (0, 0, 0; 0, 20, 0; 0, 0, 4) Portanto, a soma dos elementos da matriz diagonal D é: S = 0 + 20 + 4 = 24 Logo, a alternativa correta é a letra E) S = -6.