14) Seja f:R2→R homogênea e suponha que f(a,b)=0 para todo (a,b), com a2+b2=1. Mostre que f(x,y)=0 para todo (x,y)≠(0,0).

Para resolver essa questão, podemos utilizar o seguinte raciocínio: Seja (x,y) um ponto qualquer do plano R², com x²+y² ≠ 0. Podemos escrever esse ponto como (r cosθ, r sinθ), onde r é a distância do ponto à origem e θ é o ângulo que o vetor que liga a origem ao ponto faz com o eixo x. Como f é homogênea, podemos escrever: f(x,y) = f(r cosθ, r sinθ) = r^n f(cosθ, sinθ) onde n é o grau de homogeneidade de f. Note que (cosθ, sinθ) é um ponto na circunferência de raio 1, ou seja, (cosθ, sinθ) satisfaz a condição dada no enunciado. Portanto, temos que f(cosθ, sinθ) = 0. Assim, concluímos que f(x,y) = r^n f(cosθ, sinθ) = 0 para todo ponto (x,y) ≠ (0,0), já que r ≠ 0 e f(cosθ, sinθ) = 0. Portanto, mostramos que f(x,y) = 0 para todo (x,y) ≠ (0,0).