4) Calcule, caso exista. a) lim (x,y)→(0,0) x sin ( 1 x2 + y2 ) b) lim (x,y)→(0,0) x√ x2 + y2 c) lim (x,y)→(0,0) xy(x− y) x4 + y4 d) lim ...

a) Para calcular o limite, podemos usar coordenadas polares. Substituindo x = r cos θ e y = r sen θ, temos: lim (x,y)→(0,0) x sin(1/(x²+y²)) = lim r cos θ sen(1/r²) = 0 b) Usando coordenadas polares novamente, temos: lim (x,y)→(0,0) x√(x²+y²) = lim r cos θ r = 0 c) Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por x^4. Então: lim (x,y)→(0,0) xy(x-y)/(x^4+y^4) = lim (x,y)→(0,0) y/x (1-(y/x)^2)/(1+(y/x)^2) = 0 d) Usando coordenadas polares, temos: lim (x,y)→(0,0) xy/(x²+y²) = lim r² cos θ sen θ/r² = 0 e) Usando coordenadas polares, temos: lim (x,y)→(0,0) x²√(x²+y²)/(x²+y²) = lim r^3 cos² θ/r^2 = 0 f) Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por x-y. Então: lim (x,y)→(0,0) (x+y)/(x-y) = não existe g) Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por x³. Então: lim (x,y)→(0,0) xy/(y-x³) = lim (x,y)→(0,0) y/x³ (1/(1-(y/x³))) = não existe h) Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por y². Então: lim (x,y)→(0,0) xy²/(x²-y²) = lim (x,y)→(0,0) x/y² (y/x)²/(1-(x/y)²) = não existe