5) Admita que, para todo (x, y). 4y/∂f/∂x(x, y)− x∂f/∂y(x, y) = 0. Prove que f é constante sobre a elipse x^2/4 + y^2 = 1.

Para provar que f é constante sobre a elipse x^2/4 + y^2 = 1, precisamos mostrar que a derivada de f em relação a x é igual a zero e a derivada de f em relação a y também é igual a zero. Começando pela derivada em relação a x, temos: ∂f/∂x(x, y) = -4y/x Agora, derivando em relação a y, temos: ∂f/∂y(x, y) = 4/(∂f/∂x(x, y)) Substituindo a segunda equação na primeira, temos: 4y/∂f/∂x(x, y)− x∂f/∂y(x, y) = 4y/(-4y/x) - x(4/(∂f/∂x(x, y))) = -x(4/(∂f/∂x(x, y))) + x(4/(∂f/∂x(x, y))) = 0 Portanto, f é constante sobre a elipse x^2/4 + y^2 = 1.