7) Seja g dada por g(t) = f(x, y) sin(3t), onde x = 2t e y = 3t. Veri�que que g′(t) = 3f(x, y) cos(3t) + sin(3t)[2∂f/∂x(x, y) + 3∂f/∂y(x, y)], onde...

Para resolver essa questão, precisamos utilizar a Regra da Cadeia e a Regra do Produto. Começando pela Regra da Cadeia, temos: g'(t) = [f(x, y)sin(3t)]' = f(x, y)'sin(3t) + f(x, y)cos(3t)3 Agora, precisamos encontrar f(x, y)'. Para isso, vamos utilizar a Regra do Produto: f(x, y) = f(x, y(x)) = f(2t, 3t) Então, temos: f'(x, y) = ∂f/∂x * ∂x/∂t + ∂f/∂y * ∂y/∂t Substituindo x = 2t e y = 3t, temos: f'(x, y) = ∂f/∂x * 2 + ∂f/∂y * 3 Agora, podemos substituir g'(t) e f'(x, y) na equação inicial: g'(t) = 3f(x, y)cos(3t) + sin(3t)[2∂f/∂x(x, y) + 3∂f/∂y(x, y)] g'(t) = 3f(2t, 3t)cos(3t) + sin(3t)[2∂f/∂x(2t, 3t) + 3∂f/∂y(2t, 3t)] Portanto, a alternativa correta é a letra E.