25) Seja z = f(x, y) diferenciável em R2 e tal que ∇f(x, y) = g(x, y)(x, y), para todo (x, y) ∈ R2, onde g(x, y) é uma função de R2 em R dada. a) C...

A questão 25 trata de um problema de cálculo multivariável. a) Para verificar que é razoável esperar que f seja constante sobre cada circunferência de centro na origem, podemos observar que o vetor gradiente ∇f(x, y) é perpendicular às curvas de nível de f(x, y). Como g(x, y) é uma função de R2 em R dada, podemos escrever ∇f(x, y) = g(x, y)(x, y) como um múltiplo escalar do vetor (x, y). Isso significa que o vetor gradiente ∇f(x, y) é paralelo ao vetor (x, y) em todos os pontos (x, y) de R2. Portanto, as curvas de nível de f(x, y) são formadas por circunferências concêntricas com centro na origem, e o vetor gradiente ∇f(x, y) aponta radialmente para fora em todos os pontos dessas curvas. Isso sugere que f(x, y) é constante em cada uma dessas curvas. b) Para provar que f é constante sobre cada circunferência de centro na origem, podemos usar o fato de que o vetor gradiente ∇f(x, y) é perpendicular às curvas de nível de f(x, y). Seja C uma circunferência de centro na origem e raio r. Podemos parametrizar C como x = r cos(t) e y = r sen(t), onde t é um parâmetro que varia de 0 a 2π. Então, a curva de nível de f(x, y) correspondente a f(x, y) = k é dada por r² = x² + y² = 2k/g(x, y). Derivando implicitamente essa equação em relação a t, obtemos: 2r dr/dt = -2g(x, y)/g²(x, y) (x dx/dt + y dy/dt) Substituindo x = r cos(t) e y = r sen(t), temos: 2r dr/dt = -2g(x, y)/g²(x, y) (r cos(t) (-r sen(t)) + r sen(t) (r cos(t))) Simplificando, obtemos: dr/dt = 0 Isso significa que o raio r da circunferência C é constante ao longo da curva de nível de f(x, y) correspondente a f(x, y) = k. Como a circunferência C é formada por pontos com o mesmo raio r, concluímos que f(x, y) é constante em C. Como C é uma circunferência de centro na origem arbitrário, concluímos que f(x, y) é constante em todas as circunferências de centro na origem.