12) Seja f(x, y) de�nida e diferenciável na bola aberta A. Suponha que f veri�ca em A a relação de Euler x∂f/∂x(x, y) + y∂f/∂y(x, y) = λf(x, y). Pr...

Para provar que f é homogênea de grau λ, precisamos mostrar que f(tx, ty) = t^λf(x, y) para todo t > 0 e (x, y) em A. Começamos com a relação de Euler dada: x∂f/∂x(x, y) + y∂f/∂y(x, y) = λf(x, y). Agora, definimos g(t) = f(tx, ty). Então, usando a regra da cadeia, temos: g'(t) = ∂f/∂x(tx, ty) * x + ∂f/∂y(tx, ty) * y Usando a relação de Euler, podemos reescrever isso como: g'(t) = (1/t) * (x∂f/∂x(tx, ty) + y∂f/∂y(tx, ty)) g'(t) = (1/t) * (λf(tx, ty)) g'(t) = λ/t * f(tx, ty) Agora, podemos integrar ambos os lados da equação em relação a t, de 1 a t: ln(g(t)) - ln(g(1)) = ∫(1 até t) g'(s)/g(s) ds ln(f(tx, ty)) - ln(f(x, y)) = ∫(1 até t) λ/s ds ln(f(tx, ty)) - ln(f(x, y)) = λ * ln(t) ln(f(tx, ty)/f(x, y)) = λ * ln(t) f(tx, ty)/f(x, y) = t^λ Portanto, f é homogênea de grau λ.