Verifique se equação diferencial é exata e em caso afirmativo resolva-a: (4x3+4xy)dx+(2x2+2y−1)−dy=0(43+4xy)dx+(22+2y−1)−dy=0 a. F(x,y)=5x4/4−x3y...

Para verificar se a equação diferencial é exata, precisamos verificar se a condição de equação diferencial exata é satisfeita. A condição é dada por: ∂Q/∂y = ∂P/∂x Onde P é o coeficiente de dx e Q é o coeficiente de dy. Dada a equação diferencial: (4x³+4xy)dx + (2x²+2y−1)dy = 0 Temos que: ∂Q/∂y = 2 ∂P/∂x = 12x²+4y Como ∂Q/∂y ≠ ∂P/∂x, a equação diferencial não é exata. Para resolvê-la, podemos usar o fator integrante μ(x,y), que é dado por: μ(x,y) = e^(∫(∂Q/∂x - ∂P/∂y)/P dx) μ(x,y) = e^(∫(2-12x²-4y)/4x³ dx) μ(x,y) = e^(-3ln|x| - 2ln|y| + 2ln|2x²+y| + C) μ(x,y) = e^(ln|x⁻³y⁻²(2x²+y)²| + C) μ(x,y) = |x⁻³y⁻²(2x²+y)²| Multiplicando a equação diferencial pelo fator integrante, temos: (4x³+4xy)|x⁻³y⁻²(2x²+y)²|dx + (2x²+2y−1)|x⁻³y⁻²(2x²+y)²|dy = 0 Simplificando, temos: d(x⁴y⁻¹(2x²+y)²) = 0 Integrando, temos: x⁴y⁻¹(2x²+y)² = C Portanto, a solução da equação diferencial é: F(x,y) = x⁴y⁻¹(2x²+y)² = C Alternativa correta: Não há alternativa correta, pois a pergunta não pede para escolher uma das opções.