Seja ABC um triângulo tal que AC está contido na reta r : x − 2y = 6, AB está contido na reta l : x + 2y = −2, e BC está contido na reta m que ...

(a) Para encontrar as equações das bissetrizes formadas pelas retas r e m, precisamos primeiro encontrar o ponto de interseção entre as retas r e m. Sabemos que a reta r tem a equação x - 2y = 6 e a reta m é perpendicular a r e passa pelo ponto P = (2, 3). A inclinação da reta r é 1/2, então a inclinação da reta m é -2 (negativo do inverso de 1/2). Usando a equação ponto-inclinação, podemos escrever a equação da reta m como y - 3 = -2(x - 2), que simplifica para y = -2x + 7. Agora, podemos encontrar o ponto de interseção das retas r e m resolvendo o sistema de equações: x - 2y = 6 y = -2x + 7 Substituindo y na segunda equação pela primeira, temos: x - 2(-2x + 7) = 6 x + 4x - 14 = 6 5x = 20 x = 4 Substituindo x na primeira equação, temos: 4 - 2y = 6 y = -1 Portanto, o ponto de interseção das retas r e m é (4, -1). Agora, podemos encontrar as equações das bissetrizes usando a equação ponto-médio. A bissetriz da reta r é a reta que passa pelo ponto médio entre os pontos A e C (que estão na reta r) e pelo ponto de interseção das retas r e m. O ponto médio de AC é ((x_A + x_C)/2, (y_A + y_C)/2), que podemos encontrar substituindo as coordenadas de A e C na equação. Temos: A = (x_A, y_A) = solução do sistema {x - 2y = 6, x + 2y = -2} C = (x_C, y_C) = solução do sistema {x - 2y = 6, y = -2x + 7} Resolvendo os sistemas, encontramos A = (-2, 4) e C = (10/3, -2/3). O ponto médio de AC é ((-2 + 10/3)/2, (4 - 2/3)/2) = (4/3, 11/6). A equação da bissetriz da reta r é a reta que passa pelos pontos (4, -1) e (4/3, 11/6). Usando a equação ponto-médio, podemos escrever a equação da bissetriz como: y + 1 = 2/3(x - 4) Simplificando, temos: 2x - 3y - 10 = 0 A bissetriz da reta m é a reta que passa pelo ponto médio entre os pontos B e C (que estão na reta m) e pelo ponto de interseção das retas r e m. O ponto médio de BC é ((x_B + x_C)/2, (y_B + y_C)/2), que podemos encontrar substituindo as coordenadas de B e C na equação. Temos: B = (x_B, y_B) = solução do sistema {x + 2y = -2, 3x - y = 13} C = (x_C, y_C) = solução do sistema {y = -2x + 7, 3x - y = 13} Resolvendo os sistemas, encontramos B = (-4/5, -6/5) e C = (10/3, -2/3). O ponto médio de BC é ((-4/5 + 10/3)/2, (-6/5 - 2/3)/2) = (11/15, -16/15). A equação da bissetriz da reta m é a reta que passa pelos pontos (4, -1) e (11/15, -16/15). Usando a equação ponto-médio, podemos escrever a equação da bissetriz como: y + 1 = 5/3(x - 4) Simplificando, temos: 5x - 3y - 11 = 0 (b) Para determinar a área do triângulo ABC, podemos usar a fórmula da área do triângulo: Área = (base x altura)/2 A base do triângulo é a distância entre os pontos A e C, que podemos encontrar usando a fórmula da distância entre dois pontos: d(A, C) = sqrt((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2) Substituindo as coordenadas de A e C, temos: d(A, C) = sqrt((10/3 + 2)^2 + (-2/3 - 4)^2) = sqrt(100/9 + 64/9) = 2sqrt(41)/3 A altura do triângulo em relação à base AC é a distância entre o ponto B e a reta AC. Podemos encontrar essa distância usando a fórmula da distância entre um ponto e uma reta: d(B, AC) = |(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)|/d(A, C) Substituindo as coordenadas de A, B e C, temos: d(B, AC) = |(-4/5 + 2)(-2/3 - 4) - (10/3 + 2)(-6/5 - 4)|/2sqrt(41)/3 d(B, AC) = 10sqrt(41)/9 Portanto, a área do triângulo ABC é: Área = (2sqrt(41)/3 x 10sqrt(41)/9)/2 = 10/3