Dadas as retas r1 : x − y = 5, r2 : 3x + 2y = 0 e r3 : 3x − 4y = −7. Considere esses dados para responder as seguintes questões. (a) Determine a e...

(a) Para encontrar o centro C, precisamos encontrar a intersecção entre as retas r1 e r2. Resolvendo o sistema formado pelas equações das retas, temos: x - y = 5 3x + 2y = 0 Multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda, temos: 2x - 2y = 10 3x + 2y = 0 ___________ 5x = 10 x = 2 Substituindo o valor de x na primeira equação, temos: 2 - y = 5 y = -3 Portanto, o ponto C = (2, -3). Agora, precisamos encontrar a distância entre o ponto C e a reta r3. Para isso, precisamos encontrar a equação da reta perpendicular a r3 que passa por C. A equação da reta r3 pode ser escrita como: y = (3/4)x + (7/4) A reta perpendicular a r3 tem coeficiente angular oposto e inverso, ou seja, -4/3. A equação da reta perpendicular que passa por C é: y + 3 = (-4/3)(x - 2) Simplificando, temos: y = (-4/3)x + (2/3) Agora, precisamos encontrar o ponto de intersecção entre a reta perpendicular e a reta r3. Resolvendo o sistema formado pelas equações das retas, temos: y = (-4/3)x + (2/3) y = (3/4)x + (7/4) Substituindo a primeira equação na segunda, temos: (-4/3)x + (2/3) = (3/4)x + (7/4) -16x + 8 = 9x + 21 25x = -13 x = -13/25 Substituindo o valor de x na primeira equação, temos: y = (-4/3)(-13/25) + (2/3) y = 14/25 Portanto, o ponto de tangência é T = (-13/25, 14/25). A distância entre o ponto C e o ponto T é o raio do círculo. Usando a fórmula da distância entre dois pontos, temos: r = sqrt((2 - (-13/25))^2 + (-3 - 14/25)^2) r = sqrt(1701)/25 Portanto, a equação do círculo é: (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 1701/625 (b) A reta s é perpendicular a r3 e passa pelo ponto C. Portanto, sua equação é: y + 3 = (4/3)(x - 2) Simplificando, temos: y = (4/3)x - (2/3) Para encontrar as coordenadas do ponto de tangência, precisamos encontrar a intersecção entre a reta s e a reta perpendicular a r3 que passa por T. A equação da reta perpendicular que passa por T é: y - (14/25) = (3/4)(x + 13/25) Simplificando, temos: y = (3/4)x + 1/5 Resolvendo o sistema formado pelas equações das retas, temos: y = (4/3)x - (2/3) y = (3/4)x + 1/5 Substituindo a primeira equação na segunda, temos: (4/3)x - (2/3) = (3/4)x + 1/5 16x - 8 = 9x + 12/5 7x = 52/5 x = 52/35 Substituindo o valor de x na primeira equação, temos: y = (4/3)(52/35) - (2/3) y = 2/5 Portanto, o ponto de tangência é T' = (52/35, 2/5). (c) O esboço do problema pode ser feito usando um sistema de coordenadas cartesianas. As retas r1, r2 e r3 são representadas pelas equações dadas. O ponto C é a intersecção entre as retas r1 e r2. O círculo é representado pela equação encontrada no item (a), e o ponto de tangência é T. A reta s é perpendicular a r3 e passa pelo ponto C, e o ponto de tangência T' é a intersecção entre a reta s e a reta perpendicular a r3 que passa por T. O esboço pode ser feito usando um software de desenho ou à mão livre.