1. Diz-se que uma função u(x, y) e harmônica numa região R se nesta região ela possui derivadas de segunda ordem e satisfaz a equação, conhecida co...

Para mostrar que a função u(x,y) é harmônica, precisamos verificar se ela satisfaz a equação de Laplace. A equação de Laplace é dada por: ∇²u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de u(x,y): ∂u/∂x = -e^(-x) (sen(y) - ycos(y)) ∂²u/∂x² = e^(-x) (sen(y) - ycos(y)) ∂u/∂y = xe^(-x)cos(y) - e^(-x)ycos(y) - xe^(-x)sen(y) - e^(-x)sen(y) ∂²u/∂y² = -xe^(-x)sen(y) - e^(-x)cos(y) + xe^(-x)cos(y) - e^(-x)ysen(y) Substituindo as derivadas parciais na equação de Laplace, temos: ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = e^(-x) (sen(y) - ycos(y)) - xe^(-x)sen(y) - e^(-x)cos(y) + xe^(-x)cos(y) - e^(-x)ysen(y) = 0 Portanto, a função u(x,y) é harmônica. Para encontrar a função v(x,y), a conjugada complexa de u, precisamos calcular as derivadas parciais de u em relação a x e y: ∂u/∂x = -e^(-x) (sen(y) - ycos(y)) ∂u/∂y = xe^(-x)cos(y) - e^(-x)ycos(y) - xe^(-x)sen(y) - e^(-x)sen(y) A função v(x,y) é dada por: v(x,y) = ∫(∂u/∂x)dy + C(x) Onde C(x) é uma constante de integração que depende apenas de x. Integrando a primeira derivada parcial em relação a y, temos: ∫(∂u/∂x)dy = -e^(-x)ycos(y) - e^(-x)sen(y) + h(x) Onde h(x) é uma constante de integração que depende apenas de x. Derivando h(x) em relação a x, temos: h'(x) = ∂h(x)/∂x = ∂/∂x ∫(∂u/∂x)dy = ∂/∂x (-e^(-x)ycos(y) - e^(-x)sen(y)) = e^(-x) (sen(y) - ycos(y)) Portanto, h(x) = ∫h'(x)dx = -e^(-x) (xsen(y) + ycos(y)) + k Onde k é uma constante de integração. Substituindo h(x) na expressão de v(x,y), temos: v(x,y) = -e^(-x)ycos(y) - e^(-x)sen(y) - e^(-x) (xsen(y) + ycos(y)) + k Finalmente, escrevemos f(x+iy) na forma f(z): f(z) = u(x,y) + iv(x,y) = e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) - i(e^(-x)ycos(y) + e^(-x)sen(y) + e^(-x) (xsen(y) + ycos(y)) - k)