dada a função u(x,y)=e^(-x) (xsen(y)-ycos(y)), mostre, usando a equação de Laplace, que u(x,y) é uma função harmônica; encontre a função v(x,y), a ...

Para mostrar que a função u(x,y) é harmônica, precisamos verificar se ela satisfaz a equação de Laplace: ∇²u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = e^(-x) (sen(y) - xcos(y)) - e^(-x) (sen(y) - xcos(y)) = 0 Portanto, u(x,y) é uma função harmônica. Para encontrar a função v(x,y), a conjugada complexa de u, precisamos usar as equações de Cauchy-Riemann: ∂u/∂x = ∂v/∂y e ∂u/∂y = -∂v/∂x Podemos escrever u(x,y) na forma u(x,y) = Re[f(z)], onde f(z) = e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) + i e^(-x) (xcos(y) + ysen(y)). Então, temos: ∂u/∂x = ∂/∂x (e^(-x) (xsen(y) - ycos(y))) = -e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) + e^(-x) sen(y) = -v_y ∂u/∂y = ∂/∂y (e^(-x) (xsen(y) - ycos(y))) = e^(-x) xcos(y) + e^(-x) sen(y) = v_x Portanto, v(x,y) = e^(-x) xcos(y) + e^(-x) sen(y). Finalmente, podemos escrever f(x+iy) na forma f(z) = u(x,y) + iv(x,y) = e^(-x) [(xsen(y) - ycos(y)) + i(xcos(y) + ysen(y))].

o que significa -v_y???