Então vamos lá? 1. Diz-se que uma função u(x, y) e harmônica numa região R se nesta região ela possui derivadas de segunda ordem e satisfaz a eq...

A função u(x, y) = e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) é harmônica se satisfaz a equação de Laplace. A equação de Laplace é dada por ∇²u = 0, onde ∇² é o operador laplaciano. Para verificar se u(x, y) é harmônica, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de u em relação a x e y. ∂²u/∂x² = e^(-x)sen(y) ∂²u/∂y² = -e^(-x)sen(y) ∂²u/∂x∂y = e^(-x)cos(y) - e^(-x)cos(y) = 0 Substituindo esses valores na equação de Laplace, temos: ∇²u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = e^(-x)sen(y) - e^(-x)sen(y) = 0 Portanto, u(x, y) é uma função harmônica. Para encontrar a função v(x, y), a conjugada complexa de u, precisamos usar as equações de Cauchy-Riemann. Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y), onde i é a unidade imaginária. As equações de Cauchy-Riemann são: ∂u/∂x = ∂v/∂y ∂u/∂y = -∂v/∂x Substituindo u(x, y) = e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)), temos: ∂u/∂x = -e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) ∂u/∂y = e^(-x) (xcos(y) + ysen(y)) Igualando essas expressões às equações de Cauchy-Riemann, temos: ∂v/∂y = -e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) ∂v/∂x = -e^(-x) (xcos(y) + ysen(y)) Integrando a primeira equação em relação a y, temos: v(x, y) = e^(-x) (ycos(y) + xsen(y)) + g(x) Derivando essa expressão em relação a x, temos: ∂v/∂x = -e^(-x) (xcos(y) + ysen(y)) + g'(x) Igualando essa expressão à segunda equação de Cauchy-Riemann, temos: -g'(x) = -e^(-x) (xcos(y) + ysen(y)) Integrando essa equação em relação a x, temos: g(x) = e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) + C Portanto, a função v(x, y) é dada por: v(x, y) = e^(-x) (ycos(y) + xsen(y)) + e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) + C v(x, y) = e^(-x) (xcos(y) + ysen(y)) + C Para escrever f(x + iy) na forma f(z), basta substituir x por z e y por iz na expressão de u(x, y) e v(x, y). Temos: u(z) = e^(-Re(z)) (Re(z)sen(Im(z)) - Im(z)cos(Im(z))) v(z) = e^(-Re(z)) (Re(z)cos(Im(z)) + Im(z)sen(Im(z))) Portanto, f(z) = u(z) + iv(z) é dada por: f(z) = e^(-Re(z)) [(Re(z)sen(Im(z)) - Im(z)cos(Im(z))) + i(Re(z)cos(Im(z)) + Im(z)sen(Im(z)))]