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Então vamos lá? 1. Diz-se que uma função u(x, y) e harmônica numa região R se nesta região ela possui derivadas de segunda ordem e satisfaz a eq...

Então vamos lá? 1. Diz-se que uma função u(x, y) e harmônica numa região R se nesta região ela possui derivadas de segunda ordem e satisfaz a equação, conhecida como "equação de Laplace)”. Uma das aplicações das funções harmônicas é em funções potenciais. O potencial u(x, y), como no caso de fluidos, pode ser definido como função conjugada harmônica de v(x, y). Vamos trabalhar aqui com funções harmônicas. 2. Com base nos seus conhecimentos adquiridos ao longo da disciplina, elabore o seu texto argumentativo-dissertativo, respondendo aos questionamentos abaixo: a) dada a função u(x,y)=e^(-x) (xsen(y)-ycos(y)), mostre, usando a equação de Laplace, que u(x,y) é uma função harmônica; b) encontre a função v(x,y), a conjugada complexa de u; c) escreva f(x+iy) na forma f(z); Após realizar suas reflexões, elabore um pequeno texto, contendo o máximo de 30 a 40 linhas, expondo sua argumentação, acerca do solicitado.

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A função u(x, y) = e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) é harmônica se satisfaz a equação de Laplace. A equação de Laplace é dada por ∇²u = 0, onde ∇² é o operador laplaciano. Para verificar se u(x, y) é harmônica, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de u em relação a x e y. ∂²u/∂x² = e^(-x)sen(y) ∂²u/∂y² = -e^(-x)sen(y) ∂²u/∂x∂y = e^(-x)cos(y) - e^(-x)cos(y) = 0 Substituindo esses valores na equação de Laplace, temos: ∇²u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = e^(-x)sen(y) - e^(-x)sen(y) = 0 Portanto, u(x, y) é uma função harmônica. Para encontrar a função v(x, y), a conjugada complexa de u, precisamos usar as equações de Cauchy-Riemann. Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y), onde i é a unidade imaginária. As equações de Cauchy-Riemann são: ∂u/∂x = ∂v/∂y ∂u/∂y = -∂v/∂x Substituindo u(x, y) = e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)), temos: ∂u/∂x = -e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) ∂u/∂y = e^(-x) (xcos(y) + ysen(y)) Igualando essas expressões às equações de Cauchy-Riemann, temos: ∂v/∂y = -e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) ∂v/∂x = -e^(-x) (xcos(y) + ysen(y)) Integrando a primeira equação em relação a y, temos: v(x, y) = e^(-x) (ycos(y) + xsen(y)) + g(x) Derivando essa expressão em relação a x, temos: ∂v/∂x = -e^(-x) (xcos(y) + ysen(y)) + g'(x) Igualando essa expressão à segunda equação de Cauchy-Riemann, temos: -g'(x) = -e^(-x) (xcos(y) + ysen(y)) Integrando essa equação em relação a x, temos: g(x) = e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) + C Portanto, a função v(x, y) é dada por: v(x, y) = e^(-x) (ycos(y) + xsen(y)) + e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) + C v(x, y) = e^(-x) (xcos(y) + ysen(y)) + C Para escrever f(x + iy) na forma f(z), basta substituir x por z e y por iz na expressão de u(x, y) e v(x, y). Temos: u(z) = e^(-Re(z)) (Re(z)sen(Im(z)) - Im(z)cos(Im(z))) v(z) = e^(-Re(z)) (Re(z)cos(Im(z)) + Im(z)sen(Im(z))) Portanto, f(z) = u(z) + iv(z) é dada por: f(z) = e^(-Re(z)) [(Re(z)sen(Im(z)) - Im(z)cos(Im(z))) + i(Re(z)cos(Im(z)) + Im(z)sen(Im(z)))]

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