Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo vetorial, quando se depende de várias variáve...

Para calcular a integral de linha ∫CF.dr, onde C é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1), percorrido no sentido anti-horário e F(x,y)=(5−xy−y²,x²/2−xy), podemos seguir os seguintes passos: 1. Parametrizar a curva C: C(t) = (x(t), y(t)), onde: x(t) = t, y(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 1 (segmento de reta de (0,0) a (1,0)) x(t) = 1, y(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1 (segmento de reta de (1,0) a (1,1)) x(t) = 1-t, y(t) = 1, 0 ≤ t ≤ 1 (segmento de reta de (1,1) a (0,1)) x(t) = 0, y(t) = 1-t, 0 ≤ t ≤ 1 (segmento de reta de (0,1) a (0,0)) 2. Calcular a derivada da parametrização: C'(t) = (x'(t), y'(t)), onde: x'(t) = 1, y'(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 1 x'(t) = 0, y'(t) = 1, 0 ≤ t ≤ 1 x'(t) = -1, y'(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 1 x'(t) = 0, y'(t) = -1, 0 ≤ t ≤ 1 3. Calcular F(C(t)): F(C(t)) = F(x(t), y(t)) = (5 - t*0 - 0², (t²/2) - t*0) = (5, t²/2), 0 ≤ t ≤ 1 (segmento de reta de (0,0) a (1,0)) F(C(t)) = F(x(t), y(t)) = (5 - 1*t*1 - 1², 1²/2 - 1*t), 0 ≤ t ≤ 1 (segmento de reta de (1,0) a (1,1)) F(C(t)) = F(x(t), y(t)) = (5 - (1-t)*1 - 1², ((1-t)²/2) - (1-t)*1), 0 ≤ t ≤ 1 (segmento de reta de (1,1) a (0,1)) F(C(t)) = F(x(t), y(t)) = (5 - 0*1 - (1-t)², ((1-t)²/2) - 0*t), 0 ≤ t ≤ 1 (segmento de reta de (0,1) a (0,0)) 4. Calcular o produto escalar F(C(t)).C'(t): F(C(t)).C'(t) = (5, t²/2).(1, 0) + (5 - t - 1², 1²/2 - t).(0, 1) + (5 - (1-t) - 1², ((1-t)²/2) - (1-t)).(-1, 0) + (5 - 0 - (1-t)², ((1-t)²/2) - 0).(0, -1) F(C(t)).C'(t) = 5 + 0 + (4 - t) + (4 - (1-t)) + 5 + (1-t) + 5 + (1-t)² F(C(t)).C'(t) = 20 - 2t - 2(1-t) + 2(1-t)² F(C(t)).C'(t) = 20 - 2t - 2 + 2t + 2t² - 4t + 2t² F(C(t)).C'(t) = 2t² - 2t + 18 5. Calcular a integral de linha: ∫CF.dr = ∫[0,1] F(C(t)).C'(t) dt ∫CF.dr = ∫[0,1] (2t² - 2t + 18) dt ∫CF.dr = [(2/3)t³ - t² + 18t] de 0 a 1 ∫CF.dr = (2/3 - 1 + 18) - (0) = 5/2 Portanto, a alternativa correta é a letra C) 5/2.