CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS SIMULADO 2

Prévia do material em texto

Acertos: 1,8 de 2,0
	24/11/2023
		1a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	 Um objeto percorre uma curva definida  pela função →F (u)=⎧⎨⎩x=1+u2y=u3+3, u≥ 0z=u2+5�→ (�)={�=1+�2�=�3+3, �≥ 0�=�2+5 .
Assinale a alternativa que apresenta o valor da componente normal da aceleração no ponto (x,y,z) = (2,4,6):
		
	
	 3√343433434
	 
	 6√341763417
	
	 5√171751717
	
	 3√171731717
	
	 √34173417
	Respondido em 24/11/2023 18:53:00
	
	Explicação:
A resposta correta é 6√341763417
	
		2a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um fluido. Dessa forma, determine a derivada direcional f(x,y,z)=�(�,�,�)= xy+y2z��+�2� no ponto P=(7,−2,1)�=(7,−2,1) na direção do vetor v=(2,2,1)�=(2,2,1).
		
	 
	2.
	
	0.
	
	6.
	
	-6.
	
	-2.
	Respondido em 24/11/2023 18:55:56
	
	Explicação:
Calculando o vetor v� :
∥v∥=√(2)2+(2)2+(1)2=√4+4+1=√9=3‖�‖=(2)2+(2)2+(1)2=4+4+1=9=3
Calculando o vetor gradiente:
f(x,y,z)=xy+y2z∇f(x,y,z)=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂y)=(y,x+2yz,y2)�(�,�,�)=��+�2�∇�(�,�,�)=(∂�∂�,∂�∂�,∂�∂�)=(�,�+2��,�2)
Calcular o vetor gradiente no ponto P� :
∇f(x,y,z)=(y,x+2yz,y2)∇f(P)=∇f(7,−2,1)=((−2),(7)+2(−2)(1),(2)2)=(−2,7−4,4)=(−2,3,4)∇�(�,�,�)=(�,�+2��,�2)∇�(�)=∇�(7,−2,1)=((−2),(7)+2(−2)(1),(2)2)=(−2,7−4,4)=(−2,3,4)
Cálculo da derivada direcional:
∂f∂x(P)=∇f(P)⋅v∥v∥=(−2,3,4)⋅(2,2,1)3=13[(−2,3,4)⋅(2,2,1)]=∂f∂x(P)=13[(−2)(2)+(3)(2)+(4)(1)]=13[−4+6+4]=13(6)=2∂�∂�(�)=∇�(�)⋅�‖�‖=(−2,3,4)⋅(2,2,1)3=13[(−2,3,4)⋅(2,2,1)]=∂�∂�(�)=13[(−2)(2)+(3)(2)+(4)(1)]=13[−4+6+4]=13(6)=2
Logo,
∂f∂x(P)=2∂�∂�(�)=2
	
		3a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Determine a massa de uma lâmina que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de massa superficial δ(x,y) =2x+4y�(�,�) =2�+4�. Sabe-se que S ={(x,y)/ 0≤y≤4 e 0≤x≤2y}� ={(�,�)/ 0≤�≤4 � 0≤�≤2�}
		
	 
	256
	
	128
	
	2049
	
	512
	
	1024
	Respondido em 24/11/2023 18:56:10
	
	Explicação:
A resposta correta é: 256
	
		4a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Seja o sólido limitado pelos planos z =9� =9 e pelo paraboloide z =25−x2−y2� =25−�2−�2. Sabe-se que sua densidade volumétrica de massa é dada pela equação δ (x,y,z) =x2y2� (�,�,�) =�2�2. Marque a alternativa que apresenta a integral tripla que determina o momento de inércia em relação ao eixo z. 
		
	
	4∫0√16−x2∫025−x2−y2∫0 (x2+y2)x2y2dzdydx∫04∫016−�2∫025−�2−�2 (�2+�2)�2�2������
	
	5∫−5√16−x2∫−√16−x225−x2−y2∫9 (x2+y2)x2y2dxdydz∫−55∫−16−�216−�2∫925−�2−�2 (�2+�2)�2�2������
	
	4∫0√16−x2∫−√16−x225−x2−y2∫0 (x2+y2)x2y2dzdydx∫04∫−16−�216−�2∫025−�2−�2 (�2+�2)�2�2������
	
	4∫−4√16−x2∫−√16−x225−x2−y2∫9 x2y2dxdydz∫−44∫−16−�216−�2∫925−�2−�2 �2�2������
	 
	4∫−4√16−x2∫−√16−x225−x2−y2∫9 (x2+y2)x2y2dzdydx∫−44∫−16−�216−�2∫925−�2−�2 (�2+�2)�2�2������
	Respondido em 24/11/2023 18:57:51
	
	Explicação:
A resposta correta é: 4∫−4√16−x2∫−√16−x225−x2−y2∫9 (x2+y2)x2y2dzdydx∫−44∫−16−�216−�2∫925−�2−�2 (�2+�2)�2�2������
	
		5a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Marque a alternativa que apresenta a integral de linha da função f(x,y,z)=x+y2z3�(�,�,�)=�+�2�3 sobre a curva definida pela equação y(t)=(t2,4t,5t)�(�)=(�2,4�,5�) com 0≤t≤20≤�≤2.
 
		
	
	∫10(t+2000t2√t2+41)dt∫01(�+2000�2�2+41)��
	
	∫10(t2+200t3√t2+25)dt∫01(�2+200�3�2+25)��
	 
	∫20(t2+2000t5√4t2+41)dt∫02(�2+2000�54�2+41)��
	
	∫20(10t3+2t2√4t2+29)dt∫02(10�3+2�24�2+29)��
	
	∫20(t2+20t5√4t2+16)dt∫02(�2+20�54�2+16)��
	Respondido em 24/11/2023 18:58:30
	
	Explicação:
Primeiro é necessário substituir os valores da curva na função:
 f(x(t),y(t),z(t))=t2+(4t)2(5t)3=t2+2000t5�(�(�),�(�),�(�))=�2+(4�)2(5�)3=�2+2000�5
Em seguida se faz o módulo de y′(t)�′(�):
y′(t)=(2t,4,5)�′(�)=(2�,4,5)
|y′(t)|=√4t2+41|�′(�)|=4�2+41
Por fim, se monta a integral:
∫20(t2+2000t5√4t2+41)dt∫02(�2+2000�54�2+41)��
	
		6a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Na física, ao estudar o movimento de uma partícula em um campo vetorial, é comum utilizar um vetor especial chamado versor. Esse versor é definido como:
		
	
	Um vetor com magnitude variável dependendo do campo vetorial.
	
	Um vetor com magnitude igual ao produto das coordenadas componentes.
	
	Um vetor com magnitude igual a 2.
	 
	Um vetor com magnitude igual a 1.
	
	Um vetor com magnitude igual a zero.
	Respondido em 24/11/2023 18:58:57
	
	Explicação:
O versor é um vetor unitário, ou seja, um vetor com módulo igual a 1. O versor é utilizado para indicar apenas a direção e o sentido de um vetor, sem levar em consideração sua magnitude. As outras alternativas não correspondem à definição de versor como vetor unitário.
	
		7a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Determine a derivada direcional da função f(x,y) =2x2y+5�(�,�) =2�2�+5, na direção do vetor (√32, −12)(32, −12) no ponto (x,y) = (1,1).
		
	
	2√323
	 
	2√3+123+1
	
	√3+13+1
	
	2√3−123−1
	
	1−√31−3
	Respondido em 24/11/2023 18:59:31
	
	Explicação:
A resposta correta é: 2√3+123+1
	
		8a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	A integração dupla não iterada é usada quando a função integranda é expressa em coordenadas polares ou outras coordenadas curvilíneas. Utilizando coordenadas polares o valor da área dada pela integral dupla ∫a−a∫√a2−x20(x2+y2)3/2dydx∫−��∫0�2−�2(�2+�2)3/2���� é:
		
	 
	 a5π5�5�5.
	
	 a6π5�6�5.
	
	 a3π5�3�5.
	
	 a2π5�2�5.
	
	 a4π5�4�5.
	Respondido em 24/11/2023 19:00:14
	
	Explicação:
∫a−a∫√a2−x20(x2+y2)32dydx−a≤x≤ae0≤y≤√a2−x2∫−��∫0�2−�2(�2+�2)32����−�≤�≤��0≤�≤�2−�2
Substituindo por coordenadas polares: r,θ�,�
0≤θ≤πe0≤r≤a0≤�≤��0≤�≤�
E
y=√a2−x2y2+x2=a2�=�2−�2�2+�2=�2
Resolvendo por integral:
∫a−a∫√a2−x20(x2+y2)32dydx=∫π0∫a0(a2)32rdrdθ=∫π0∫a0r4drdθ=∫π0[r55]∣∣∣a0dθ∫a−a∫√a2−x20(x2+y2)32dydx=∫π0a55dθ=a5θ5∣∣∣π0=a5π5∫−��∫0�2−�2(�2+�2)32����=∫0�∫0�(�2)32�����=∫0�∫0��4����=∫0�[�55]|0���∫−��∫0�2−�2(�2+�2)32����=∫0��55��=�5�5|0�=�5�5
	
		9a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	A utilização de coordenadas cilíndricas muitas vezes facilita na resolução de integrais. Dessa forma, calcule o volume  ∭E√x2+y2dV∭��2+�2��, sabendo que E�  compreende a região contida dentro do cilindro x2+y2=16�2+�2=16 e entre os planos z=−5�=−5 e  z=4�=4.
		
	
	184π.184�.
	 
	384π.384�.
	
	284π.284�.
	
	84π.84�.
	
	484π.484�.
	Respondido em 24/11/2023 19:00:57
	
	Explicação:
Transformando em coordenadas cilíndricas:
(x,y,z)→(r,θ,z)⎧⎪⎨⎪⎩x=rcosθy=rsenθz=z(�,�,�)→(�,�,�){�=�cos⁡��=�sen⁡��=�
Definindo os limites de integração:
Sabemos que x=rcosθ�=�cos⁡� e que y=rsenθ�=�sen⁡� , e que a região está dentro do cilindro x2+y2=16�2+�2=16 , logo:
x2+y2≤16(rcosθ)2+(rsenθ)2≤16r2(cos2θ+sen2θ)0≤r≤4≤42�2+�2≤16(�cos⁡�)2+(�sen⁡�)2≤16�2(cos2⁡�+sen2⁡�)⏟0≤�≤4≤42
Como não temos restrição para o ângulo θ�:
0≤θ≤2π0≤�≤2�
Montando a integral, multiplicando pelo jacobiano que é (r):
∭E√x2+y2dV=∫4−5∫2π0∫40(r)rdrdθdzdV∭��2+�2��=∫−54∫02�∫04(�)�������⏟��
Calculando a integral, temos:
∫4−5∫2π0∫40r2drdθdz=∫4−5∫2π0r33∣∣∣40dθdz=∫4−5∫2π0643dθdz=∫4−5643θ∣∣∣2π0dz=∫4−5643(2π)dz==∫4−5128π3dz=128π3z∣∣∣4−5=128π3(4+5)=384π∫−54∫02�∫04�2������=∫−54∫02��33|04����=∫−54∫02�643����=∫−54643�|02���=∫−54643(2�)��==∫−54128�3��=128�3�|−54=128�3(4+5)=384�
Logo, ∭E√x2+y2dV=384π∭��2+�2��=384�
	
		10a
            Questão  /  
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo vetorial, quando se depende de várias variáveis. Considere o campo vetorial F(x,y)=(5−xy−y2,x2−2xy)�(�,�)=(5−��−�2,�2−2��)  em R2�2, onde C é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1), percorrido no sentido anti-horário. O valor de ∫CF.dr∫��.�� é:
		
	
	1/2
	
	2/3
	
	5/2
	 
	1/3
	 
	3/2
	Respondido em 24/11/2023 19:02:36
	
	Explicação: