Prova N2 (A5) Calculo aplicado de varias variáveis

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19/12/2023 09:10 Prova N2 (A5): Revisão da tentativa
https://ambienteacademico.com.br/mod/quiz/review.php?attempt=3641632&cmid=1192671 1/7
Iniciado em quinta, 14 dez 2023, 21:04
Estado Finalizada
Concluída em quinta, 14 dez 2023, 21:44
Tempo
empregado
39 minutos 58 segundos
Avaliar 8,00 de um máximo de 10,00(80%)
Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Analise a figura a seguir:
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
As coordenadas retangulares e as coordenadas polares se relacionam por meio das seguintes equações: , e
. Assim, a integral dupla com coordenadas retangulares , onde , é
equivalente à integral dupla com coordenadas polares , onde .
Usando coordenadas polares, determine o volume do sólido no interior da esfera e exterior ao cilindro limitado
ao primeiro octante. Assinale a alternativa correta:
a.
b.
c.
d.  Resposta correta. A alternativa está correta, pois no primeiro octante temos que o sólido é limitado inferiormente
pela região e superiormente pelo gráfico da função . Usando as
coordenadas polares, onde e , temos que a região de integração será
 e a função . Assim, o volume do sólido é
.
e.
A resposta correta é: 
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Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando
essa lei como a função , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume de sob uma pressão de .
O volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por segundo.
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use ).
 
 
a. A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.
 
 
 
b. A temperatura está aumentando a uma taxa de por segundo no instante dado.
c. A temperatura
está
diminuindo a
uma taxa de
 por
segundo no
instante dado.
 Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde , temos
. Pelas informações do enunciado, temos , , e .
Derivando a função com relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde e
. Assim, . Portanto, a temperatura está
diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.
d. A temperatura está aumentando a uma taxa de por segundo no instante dado.
e. A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.
A resposta correta é: A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.
Existem dois tipos de integrais: as integrais indefinidas e as integrais definidas. Para resolver ambas, é necessário obtermos a antiderivada da
função do integrando. O resultado de uma integral indefinida, no entanto, é uma família de funções, isto é, . Em
relação ao cálculo de integrais indefinidas, assinale a alternativa correta.
a. O resultado da integral é a função .
 
b. O resultado da integral é a função .
c. O resultado da integral
 é a
função .
 Resposta correta. A alternativa está correta. Uma integral indefinida sempre exibe uma expressão em
sua variável mais uma constante de integração. Assim, aplicando as regras de integração
corretamente, temos que: .
d. O resultado da integral é a função .
e. O resultado da integral é a função .
A resposta correta é: O resultado da integral é a função .
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Questão 4
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade em equação diferencial linear e equação diferencial não
linear. As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a variável independente é e a variável
dependente é , temos que: (i) A variável dependente e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada
coeficiente depende apenas da variável independente .
 
Considere a variável uma função da variável , isto é, . Analise as afirmativas a seguir.
 
I. A equação diferencial é linear.
II. A equação diferencial é linear.
III. A equação diferencial é linear.
IV. A equação diferencial é linear.
 
Assinale a alternativa correta.
 
a. I, II e
IV,
apenas.
 Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. De acordo com as condições de linearidade de uma equação
diferencial, temos que apenas a afirmativa III está incorreta, pois nessa alternativa a variável dependente apresenta
grau 2 em um dos termos, não satisfazendo uma das condições de ser linear.
b. I, II e III, apenas.
c. III e IV, apenas.
d. I, III e IV, apenas.
e. II e IV, apenas.
A resposta correta é: I, III e IV, apenas.
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Questão 5
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
O Teorema Fundamental do Cálculo postula que: se for uma função contínua no intervalo e é uma função contínua tal que
 para todo , então , em que a função é a primitiva da função . De um modo simples, o
teorema mostra que, para calcular a integral de uma função, é suficiente conhecermos uma primitiva dessa função.
 
Considerando o exposto, sobre o Teorema Fundamental do Cálculo,analise as afirmativas a seguir.
 
I. 
II. 
III. 
IV. 
 
Está correto o que se afirma em:
a. II e IV, apenas.
b. I, II e IV, apenas.  Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta.
Afirmativa I: falsa, pois 
Afirmação IV: falsa, pois 
c. I e II, apenas.
d. II e III, apenas.
e. I, II e III, apenas.
A resposta correta é: II e III, apenas.
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Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples, o qual pode ser descrito pela equação , onde é
uma função do tempo que indica a posição da massa, é a massa da mola e é a constante elástica. Para uma mola de comprimento
natural de 0,75 m e 5 kg de massa, é necessária uma força de 25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola for solta
com velocidade nula ao ser esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da massa após segundos?
 
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ).
 
 
a. .
 
 
 
 
 
b.
.
 Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as seguintes condições: 
 (a mola no tempo está esticada em 1,1 m sendo seu comprimento natural de 0,75 m; portanto,
está deformada em 0,35 m) e (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a função
velocidade é a derivada primeira da função posição). Pela lei de Hooke, temos que o valor da constante
elástica é: . Tomando e na EDO ,
obtemos a EDO . Resolvendo o PVI: , e , temos que
a solução geral da EDO é e, portanto, a solução do PVI é
c. .
d. .
e. .
A resposta correta é: .
Para calcular a área de uma região limitada por duas funções, é possível se utilizar da teoria de integrais. Com ela, a área entre duas funções
 e limitada em um intervalo pode ser definida como , desde que para todo .
Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta a área da região limitada pelas funções e no intervalo .
a.
.
 Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que para todo . Assim, a área da região
desejada é calculada por . Aplicando as regras de integrações adequadas, temos que
.
b.
c. .
d. .
e. .
A resposta correta é: .
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Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente, visto que esse
representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a função represente uma distribuição
de temperatura no plano (suponha medida em graus Celsius, e medidos em ).
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da temperatura e sua taxa de variação
mínima.
 
 
a. Direção e taxa mínima de .
b. Direção e taxa mínima de .
c. Direção e taxa mínima de .
d. Direção
 e
taxa mínima de
.
 Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é oposta ao vetor gradiente no
ponto considerado, isto é . Já a variação de temperatura é mínima em
. (O sinal negativo apenas indica que a temperatura é mínima).
e. Direção e taxa mínima de .
A resposta correta é: Direção e taxa mínima de .
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto é, e . A derivada da
função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar
que precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções e com
relação à variável .
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação à variável ,
sabendo que e .
 
 
a.
b.
c.
d.
e.  Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: ,
, e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da
derivada desejada: . Trocando as
expressões de e temos
.
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Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Às vezes, calcular uma integral dupla , onde é uma região em formato circular, usando coordenadas retangulares pode
ser algo trabalhoso a se fazer. Porém, a descrição de pode se tornar mais simples fazendo o uso de coordenadas polares, isto é,
 em que . Use coordenadas polares para calcular a integral
 onde . Assinale a alternativa correta. (Dica: lembre que ).
a.
b.
c.  Resposta correta. A alternativa está correta, pois em coordenadas polares escrevemos e ,
portanto, a região em coordenadas polares pode ser escrita como . Assim, em
coordenadas polares, temos a seguinte integral
. Integrando primeiro em relação
à variável e, em seguida, integrando em relação à variável temos:
d.
e.
A resposta correta é: 
◄ Unidade 4
Seguir para...
Prova SUB (A6) ►
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