CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS - simulado 1

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Acertos: 1,6 de 2,0
	20/11/2023
		1a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	 Sabendo que →F (u) =⟨u3 +2u, 6, √u ⟩�→ (�) =⟨�3 +2�, 6, � ⟩ m(u) = √u� , assinale a alternativa que apresenta a derivada da função →G (u) =32 →F (m(u))�→ (�) =32 �→ (�(�)) no ponto u = 4:
		
	
	⟨100, 6, 8 ⟩⟨100, 6, 8 ⟩
	
	⟨500, 0, 2 ⟩⟨500, 0, 2 ⟩
	 
	⟨200, 0, 1 ⟩⟨200, 0, 1 ⟩
	
	⟨1600, 0, 8 ⟩⟨1600, 0, 8 ⟩
	
	⟨200, 6, 1 ⟩⟨200, 6, 1 ⟩
	Respondido em 20/11/2023 20:05:05
	
	Explicação:
A resposta correta é ⟨200, 0, 1 ⟩⟨200, 0, 1 ⟩
	
		2a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um fluido. Considere uma placa de metal cuja temperatura (em∘C)(��∘�) é dada por T(x,y)=36−2x2−4y2�(�,�)=36−2�2−4�2, onde x� e y são medidos em centímetros e um objeto está no ponto P=(2,1)�=(2,1). Determine a temperatura do objeto se este for na direção do vetor v=�= (1,1)(1,1).
		
	
	−16√2−162.
	
	16√2162.
	 
	−8√2−82.
	
	0.
	
	8√282.
	Respondido em 20/11/2023 20:06:02
	
	Explicação:
Calculando a derivada direcional:
∂T∂x(x,y)=∇f(P)⋅v∥v∥=(−8,−8)⋅(1,1)√12+12=(−8,−8)⋅(1√2,1√2)=−8√2−8√2=−16√2∂T∂x(x,y)=−16√22=−8√2 Logo, ∂T∂x(x,y)=−8√2<0⇒ resfriando ∂�∂�(�,�)=∇�(�)⋅�‖�‖=(−8,−8)⋅(1,1)12+12=(−8,−8)⋅(12,12)=−82−82=−162∂�∂�(�,�)=−1622=−82 Logo, ∂�∂�(�,�)=−82<0⇒ resfriando 
	
		3a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Determine a massa de uma lâmina que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de massa superficial δ(x,y) =2x+4y�(�,�) =2�+4�. Sabe-se que S ={(x,y)/ 0≤y≤4 e 0≤x≤2y}� ={(�,�)/ 0≤�≤4 � 0≤�≤2�}
		
	
	512
	 
	256
	
	1024
	
	128
	
	2049
	Respondido em 20/11/2023 20:07:56
	
	Explicação:
A resposta correta é: 256
	
		4a
            Questão  /  
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma, calcule a integral ∫π0∫π0∫π0cos(u+v+w)dudvdw.∫0�∫0�∫0�cos⁡(�+�+�)������.
		
	
	π2.�2.
	 
	2π.2�.
	
	3π2.3�2.
	
	π.�.
	 
	0.0.
	Respondido em 20/11/2023 20:08:43
	
	Explicação:
Integrando de dentro para fora.
Primeiro, integrando em relação ao u:
∫π0∫π0∫π0cos(u+v+w)dudvdw=∫π0∫π0[sen(u+v+w)]∣∣u=πu=0dvdw∫0�∫0�∫0�cos⁡(�+�+�)������=∫0�∫0�[sen⁡(�+�+�)]|�=0�=�����
Como a derivada de sen(u+v+w)sen⁡(�+�+�) pela regra da cadeia é:
(sen(u+v+w))′=cos(u+v+w)⋅(u+v+w)′=cos(u+v+w)⋅(1+0+0)==cos(u+v+w)(sen⁡(�+�+�))′=cos⁡(�+�+�)⋅(�+�+�)′=cos⁡(�+�+�)⋅(1+0+0)==cos⁡(�+�+�)
Voltado a integral:
=∫π0∫π0[sen(u+v+w)]∣∣u=πu=0dvdw=∫π0∫π0sen(u+v+w)−sen(v+w)dvdw=∫0�∫0�[sen⁡(�+�+�)]|�=0�=�����=∫0�∫0�sen⁡(�+�+�)−sen⁡(�+�)����
Segundo, integrando em relação ao v:
∫π0∫π0[sen(u+v+w)−sen(v+w)]dvdw=∫π0[−cos(π+v+w)+cos(v+w)]∣∣∣v=πv=0dw==∫π0[−cos(2π+w)+cos(π+w)−(−cos(π+w)+cos(w))]dw==∫π0−cos(2π+w)+2cos(π+w)−cos(w)dw∫0�∫0�[sen⁡(�+�+�)−sen⁡(�+�)]����=∫0�[−cos⁡(�+�+�)+cos⁡(�+�)]|�=0�=���==∫0�[−cos⁡(2�+�)+cos⁡(�+�)−(−cos⁡(�+�)+cos⁡(�))]��==∫0�−cos⁡(2�+�)+2cos⁡(�+�)−cos⁡(�)��
Terceiro, integrando em relação ao w:
∫π0−cos(2π+w)+2cos(π+w)−cos(w)dw=[−sen(2π+w)+2sen(π+w)−sen(w)]|w=πw=0==[−sen(3π)+2sen(2π)−sen(π)−(−sen(2π)+2sen(π)−sen(0))]=∫0�−cos⁡(2�+�)+2cos⁡(�+�)−cos⁡(�)��=[−sen⁡(2�+�)+2sen⁡(�+�)−sen⁡(�)]|�=0�=�==[−sen⁡(3�)+2sen⁡(2�)−sen⁡(�)−(−sen⁡(2�)+2sen⁡(�)−sen⁡(0))]=
Sabendo que sen(kπ)=0sen⁡(��)=0  para qualquer k∈Z�∈�
Logo:
sen(3π)=sen(2π)=sen(π)=sen(0)=0sen⁡(3�)=sen⁡(2�)=sen⁡(�)=sen⁡(0)=0
Portanto,
=[−sen(3π)+2sen(2π)−sen(π)−(−sen(2π)+2sen(π)−sen(0))]=0=[−sen⁡(3�)+2sen⁡(2�)−sen⁡(�)−(−sen⁡(2�)+2sen⁡(�)−sen⁡(0))]=0
Logo, 
∫π0∫π0∫π0cos(u+v+w)dudvdw=0∫0�∫0�∫0�cos⁡(�+�+�)������=0
	
		5a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Marque a alternativa que apresenta a integral de linha da função f(x,y,z)=x+y2z3�(�,�,�)=�+�2�3 sobre a curva definida pela equação y(t)=(t2,4t,5t)�(�)=(�2,4�,5�) com 0≤t≤20≤�≤2.
 
		
	
	∫20(10t3+2t2√4t2+29)dt∫02(10�3+2�24�2+29)��
	
	∫20(t2+20t5√4t2+16)dt∫02(�2+20�54�2+16)��
	 
	∫20(t2+2000t5√4t2+41)dt∫02(�2+2000�54�2+41)��
	
	∫10(t2+200t3√t2+25)dt∫01(�2+200�3�2+25)��
	
	∫10(t+2000t2√t2+41)dt∫01(�+2000�2�2+41)��
	Respondido em 20/11/2023 20:09:22
	
	Explicação:
Primeiro é necessário substituir os valores da curva na função:
 f(x(t),y(t),z(t))=t2+(4t)2(5t)3=t2+2000t5�(�(�),�(�),�(�))=�2+(4�)2(5�)3=�2+2000�5
Em seguida se faz o módulo de y′(t)�′(�):
y′(t)=(2t,4,5)�′(�)=(2�,4,5)
|y′(t)|=√4t2+41|�′(�)|=4�2+41
Por fim, se monta a integral:
∫20(t2+2000t5√4t2+41)dt∫02(�2+2000�54�2+41)��
	
		6a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	 Qual é o valor de →G (0)�→ (0) para que a função →G (t)=⟨ett+1, √t+1 −1t, 2 sen tt⟩�→ (�)=⟨���+1, �+1 −1�, 2 ��� ��⟩ seja contínua em t = 0? 
		
	
	⟨0, 12, 2⟩⟨0, 12, 2⟩
	
	⟨1, 0, 0 ⟩⟨1, 0, 0 ⟩
	 
	⟨1, 12, 2⟩⟨1, 12, 2⟩
	
	⟨1, 2, 1 ⟩⟨1, 2, 1 ⟩
	
	⟨2, −12, 1 ⟩⟨2, −12, 1 ⟩
	Respondido em 20/11/2023 20:09:55
	
	Explicação:
A resposta certa é ⟨1, 12, 2⟩⟨1, 12, 2⟩
	
		7a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Considere a função g(x,y) =arctg(2x+y)�(�,�) =�����(2�+�). Sabe-se que x(u,v)=u22v e y(u,v)=uv. Determine o valor da expressão 37 (∂g∂u+∂g∂v)37 (∂�∂�+∂�∂�) para (u,v)=(1,2).
		
	 
	13
	
	11
	
	12
	
	14
	
	15
	Respondido em 20/11/2023 20:10:32
	
	Explicação:
A resposta correta é: 13
	
		8a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	A integração dupla não iterada é usada quando a função integranda é expressa em coordenadas polares ou outras coordenadas curvilíneas. Utilizando coordenadas polares o valor da área dada pela integral dupla ∫a−a∫√a2−x20(x2+y2)3/2dydx∫−��∫0�2−�2(�2+�2)3/2���� é:
		
	
	 a4π5�4�5.
	
	 a3π5�3�5.
	
	 a2π5�2�5.
	 
	 a5π5�5�5.
	
	 a6π5�6�5.
	Respondido em 20/11/2023 20:11:15
	
	Explicação:
∫a−a∫√a2−x20(x2+y2)32dydx−a≤x≤ae0≤y≤√a2−x2∫−��∫0�2−�2(�2+�2)32����−�≤�≤��0≤�≤�2−�2
Substituindo por coordenadas polares: r,θ�,�
0≤θ≤πe0≤r≤a0≤�≤��0≤�≤�
E
y=√a2−x2y2+x2=a2�=�2−�2�2+�2=�2
Resolvendo por integral:
∫a−a∫√a2−x20(x2+y2)32dydx=∫π0∫a0(a2)32rdrdθ=∫π0∫a0r4drdθ=∫π0[r55]∣∣∣a0dθ∫a−a∫√a2−x20(x2+y2)32dydx=∫π0a55dθ=a5θ5∣∣∣π0=a5π5∫−��∫0�2−�2(�2+�2)32����=∫0�∫0�(�2)32�����=∫0�∫0��4����=∫0�[�55]|0���∫−��∫0�2−�2(�2+�2)32����=∫0��55��=�5�5|0�=�5�5
	
		9a
            Questão  /  
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	A integração tripla é uma das ferramentas fundamentais para o cálculo de volumes. Determine o volume de  ∭Ex2dV∭��2��, sabendo que E�  compreende a região contida dentro do cilindro  x2+y2=1�2+�2=1, acima do plano z=0�=0 e abaixo do cone  z2=4x2+4y2�2=4�2+4�2.
		
	
	π5.�5.
	
	25.25.
	
	π.�.
	 
	5π2.5�2.
	 
	2π5.2�5.
	Respondido em 20/11/2023 20:11:32
	
	Explicação:
Transformando em coordenadas cilíndricas:
(x,y,z)→(r,θ,z)⎧⎪⎨⎪⎩x=rcosθy=rsenθz=z(�,�,�)→(�,�,�){�=�cos⁡��=�sen⁡��=�
Definindo os limites de integração: 
Sabemos que x=rcosθ�=�cos⁡�y=rsenθ�=�sen⁡� e que a região está dentro do cilindro  x2+y2=1�2+�2=1, logo:
x2+y2≤1(rcosθ)2+(rsenθ)2≤1r2(cos2θ+sen2θ)1≤10≤r≤1�2+�2≤1(�cos⁡�)2+(�sen⁡�)2≤1�2(cos2⁡�+sen2⁡�)⏟1≤10≤�≤1
Como a região está entre o plano z=0�=0 e abaixo do cone  z2=4x2+4y2�2=4�2+4�2, temos:
0≤z2≤4x2+4y20≤z2≤4(rcosθ)2+4(rsenθ)20≤z2≤4r2(cos2θ+sen2θ)10≤z≤2r0≤�2≤4�2+4�20≤�2≤4(�cos⁡�)2+4(�sen⁡�)20≤�2≤4�2(cos2⁡�+sen2⁡�)⏟10≤�≤2�
Como não temos restrição para o ângulo  θ�:
0≤θ≤2π0≤�≤2�
Montando a integral,
∭Ex2dV=∫2π0∫10∫2r0(rcosθ)2rdzdrdθ∭��2��=∫02�∫01∫02�(�cos⁡�)2�������
Calculando a integral, temos:
∭Ex2dV=∫2π0∫10∫2r0(rcosθ)2rdzdrdθdV=∫2π0∫10∫2r0r3cos2θdzdrdθ=∫2π0∫102r4cos2θdrdθ=2(r55)∣∣∣1025⋅(θ+senθ+cosθ2)∣∣∣2π0π=2π5∭��2��=∫02�∫01∫02�(�cos⁡�)2�������⏟��=∫02�∫01∫02��3cos2⁡�������=∫02�∫012�4cos2⁡�����=2(�55)|01⏟25⋅(�+sen⁡�+cos⁡�2)|02�⏟�=2�5
Logo,
∭Ex2dV=2π5∭��2��=2�5
	
		10a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Sejam os campos vetoriais →G(u,v,w)=⟨u+w,v+u,w+1⟩�→(�,�,�)=⟨�+�,�+�,�+1⟩,→F(x,y,z)=⟨x−2y,2y−z,x+y⟩�→(�,�,�)=⟨�−2�,2�−�,�+�⟩ e →H(u,v)=⟨2−u2,v2,3v⟩�→(�,�)=⟨2−�2,�2,3�⟩. Determine o módulo da imagem do campo vetorial →Q(x,y,z)�→(�,�,�), para o ponto (x,y,z) = (0,1, - 1). Sabe-se que →Q(x,y,z)=2→G(x,y,z)×(→F(x,y,z)+→H(x,y))�→(�,�,�)=2�→(�,�,�)×(�→(�,�,�)+�→(�,�)).
		
	
	√33
	
	6√262
	
	4√242
	 
	8√383
	
	6√363
	Respondido em 20/11/2023 20:11:47
	
	Explicação:
Resposta correta: 8√3