Usando o contexto: A reta r:x=aγ,  y= bγ z=cγ,γ  real , a interseção entre os planos x + y - 2 = 0 e 2x - y + z - 3 = 0. Determine o valor d...

Primeiramente, vamos encontrar a interseção entre os dois planos: x + y - 2 = 0 --> y = -x + 2 2x - y + z - 3 = 0 --> y = 2x + z - 3 Igualando as duas equações, temos: -x + 2 = 2x + z - 3 3x + z = 5 Agora, vamos encontrar um ponto pertencente à reta r. Para isso, podemos escolher um valor para γ e substituir na equação da reta. Por exemplo, se γ = 0, temos o ponto (a, b, c). Assim, podemos escrever a equação paramétrica da reta como: x = aγ y = bγ z = cγ Substituindo γ = 0, temos o ponto (a, b, c). Agora, vamos encontrar a equação do plano que passa por esse ponto e é perpendicular à reta r. Para isso, podemos usar o produto vetorial entre o vetor diretor da reta r e um vetor qualquer que esteja no plano. Um vetor que está no plano é o vetor normal aos dois planos dados, que é dado por: n = (1, 1, 1) x (2, -1, 1) = (2, 3, -3) Assim, a equação do plano é dada por: 2(x - a) + 3(y - b) - 3(z - c) = 0 2x + 3y - 3z - 2a - 3b + 3c = 0 Finalmente, vamos encontrar a interseção entre esse plano e o plano x + y - 2 = 0. Substituindo a equação do plano no plano x + y - 2 = 0, temos: 2a + 3b - c - 2 = 0 Podemos escolher valores para a, b e c que satisfaçam essa equação. Por exemplo, se a = 1, b = 1 e c = 5, temos: 2(1) + 3(1) - 5 - 2 = 0 Assim, temos que a + b + c = 1 + 1 + 5 = 7. Portanto, a resposta é 7.