Questão resolvida - A menor distância do ponto (4,0,5) á esfera de equação (x-1)^2 (y2)^2 z^2 36 é - Geometria Analítica - Cálculo II

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• Determine a menor distância do ponto à esfera de equação 4, 0, 5( )
 é.(x - 1) + (y + 2) + z = 362 2 2
 
Resolução:
 
A equação genérica de uma esfera de raio cujo centro é o ponto é dada por;R a, b, c( )
 
x - a + y - b + z - c = R( )2 ( )2 ( )2 2
 
Reescrevendo a equação da esfera do problema dado, temos;
 
(x - 1) + (y + 2) + z = 36 (x - 1) + (y + 2) + z - 0 = 62 2 2 → 2 2 ( )2 ( )2
 
Logo, o centro e o raio da esfera são:
 
centro 1, -2, 0 ; raio R = 6( )
 
Uma seção de um plano cortando a esfera no centro e passando pelo ponto P que 
desejamos conhecer a distância é visto a seguir;
 
Perceba que a distância d da esfera ao ponto P é dada pela distância de P ao centro (CP) 
menos o comprimento do raio;
 
d = CP-R
 
 
centro 1, -2, 0( )
R = 6
P = 4, 0, 5( )
Ponto exterior à esfera
(1)
 
O comprimento do raio é conhecido, e a distância CP é a distância entre o ponto do centro e 
o ponto P, a distância genérica D entre 2 pontos é dada por;
 
D = x - x + y - y + z - z( 2 1)
2 ( 2 1)
2 ( 2 1)
2
 
Considerando o ponto P como sendo o ponto 2, e o centro da esfera como 4, 0, 5( ) 1, -2, 0( )
o ponto 1 e substituindo na equação 2, temos;
 
D = = =4 - 1 + 0 - -2 + 5 - 0( )2 ( ( ))2 ( )2 3 + 2 + 5( )2 ( )2 ( )2 9 + 4 + 25
 
D = 38
 
Substituindo na equação 1, temos que a menor distância entre o ponto e a esfera é;
 
d = - 6 ≅ 6, 16- 6 ≅ 0, 16 u. c.38
 
 
(2)
(Resposta )