As integrais duplas são usadas para calculr o volume abaixo de uma superfície, e podem ser calculadas pelo processo das somas de Riemann ou utiliza...

Para calcular o volume do sólido abaixo do plano 3x+2y+z=12 e acima do retângulo R={(x,y)/0≤x≤1, -1≤y≤2}, podemos utilizar o Teorema de Fubini. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração para x e y. Como o retângulo R é definido por 0≤x≤1 e -1≤y≤2, temos: 0 ≤ x ≤ 1 -1 ≤ y ≤ 2 Agora, vamos encontrar a função z que define o sólido. Isolando z na equação do plano, temos: z = 12 - 3x - 2y Assim, podemos escrever a integral dupla como: ∬R (12 - 3x - 2y) dA Integrando em relação a y primeiro e depois em relação a x, temos: ∫[0,1] ∫[-1,2] (12 - 3x - 2y) dy dx = ∫[0,1] [(12 - 3x)(2 - (-1)) - 2(2^2 - (-1)^2)] dx = ∫[0,1] (21 - 15x) dx = [21x - (15/2)x^2] [0,1] = 21/2 - 15/2 = 3 Portanto, o volume do sólido é 3. A alternativa correta é a letra C) 50.