1- Seja A = [[1, 2, 2], [2, 1, 2], [2, 2, 1]]. Sabendo que é autovalor de A e que o vetor (2,1,0) é um autovetor de A, diagonalize A por uma matriz...

Para diagonalizar a matriz A, precisamos encontrar uma matriz P ortogonal e uma matriz diagonal D, tal que A = PDP^-1. Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de A. Sabemos que um vetor (2,1,0) é um autovetor de A, então podemos encontrar o autovalor correspondente usando a equação Av = λv, onde v é o autovetor e λ é o autovalor correspondente. Assim, temos: A(2,1,0) = λ(2,1,0) (1 2 2; 2 1 2; 2 2 1)(2;1;0) = λ(2;1;0) (4;3;4) = λ(2;1;0) Podemos resolver essa equação para encontrar o autovalor λ: 4 = 2λ 3 = λ 4 = 0 (isso não é possível) Portanto, o autovalor correspondente é λ = 3. Agora, precisamos encontrar mais dois autovetores correspondentes aos autovalores restantes. Podemos fazer isso resolvendo a equação (A - λI)v = 0, onde I é a matriz identidade. Para λ = 3, temos: (A - 3I)v = 0 (-2 2 2; 2 -2 2; 2 2 -2)v = 0 Resolvendo essa equação, encontramos que um autovetor correspondente é (1,-1,0). Para o autovalor restante, podemos usar a propriedade de que a soma dos autovalores é igual à soma dos elementos da diagonal principal de A. Como já encontramos dois autovalores (3 e -1), o terceiro autovalor deve ser 6. Para λ = 6, temos: (A - 6I)v = 0 (-5 2 2; 2 -5 2; 2 2 -5)v = 0 Resolvendo essa equação, encontramos que um autovetor correspondente é (1,1,1). Agora, precisamos ortogonalizar esses três autovetores usando o processo de Gram-Schmidt. Depois, normalizamos cada um deles para obter um conjunto ortonormal. Os três autovetores ortogonalizados e normalizados são: v1 = (1/3)(1,-1,1) v2 = (1/3)(1,1,-2) v3 = (1/3)(1,1,1) A matriz P é formada pelos autovetores normalizados como colunas: P = (1/3)(1 -1 1; 1 1 -2; 1 1 1) A matriz diagonal D é formada pelos autovalores na diagonal: D = (3 0 0; 0 -1 0; 0 0 6) Portanto, a matriz A pode ser diagonalizada como A = PDP^-1, onde P é a matriz ortogonal e D é a matriz diagonal.