Mostre que senx < x, ∀x > 0. (Sugestão: para x ≥ π/2, use propriedades da trigonometria, para 0 < x < π/2, use derivada)

Para x ≥ π/2, temos que sen(x) ≤ 1, já que o seno é limitado superiormente por 1. Além disso, como x é maior ou igual a π/2, temos que x é maior que 1, logo sen(x) é menor que x. Para 0 < x < π/2, podemos usar a derivada da função f(x) = sen(x) - x. Temos que f'(x) = cos(x) - 1. Como o cosseno é limitado inferiormente por -1, temos que cos(x) - 1 < 0 para 0 < x < π/2. Portanto, f'(x) < 0 para 0 < x < π/2, o que significa que f(x) é decrescente nesse intervalo. Como f(0) = 0, temos que f(x) < 0 para 0 < x < π/2, ou seja, sen(x) < x para 0 < x < π/2. Portanto, concluímos que sen(x) < x para todo x > 0.