Mostre que f(x) = ln(x)/x tem máximo absoluto em x = e. Conclua que πe < eπ.

Para encontrar o máximo absoluto de f(x), precisamos encontrar o ponto crítico da função, ou seja, onde a derivada é igual a zero ou não existe. Começando pela função f(x) = ln(x)/x, podemos encontrar sua derivada: f'(x) = (1 - ln(x))/x^2 Igualando a derivada a zero, temos: 1 - ln(x) = 0 ln(x) = 1 x = e Portanto, o ponto crítico de f(x) é x = e. Para verificar se é um máximo absoluto, podemos usar a segunda derivada: f''(x) = (ln(x) - 2)/x^3 Substituindo x = e, temos: f''(e) = (1 - 2)/e^3 = -1/e^3 < 0 Como a segunda derivada é negativa em x = e, concluímos que f(x) tem um máximo absoluto em x = e. Agora, para concluir que πe < eπ, podemos usar a desigualdade de Bernoulli: e^(π/e) > 1 + π/e e^(π) > (1 + π/e)^e e^(π) > (eπ/e) + π^2/e^2 e^(π) > eπ/e + π^2/e^2 e^(π) > eπ(1/e + π/e^2) e^(π) > eπ(π + 1)/e^2 e^(π) > eπ(π/e + 1/e^2) πe < eπ Portanto, concluímos que πe é menor que eπ.